Theorem fdiagfn 6579

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	|- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	|- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5316	. . . 4 |- ( x e. B -> ( I X. { x } ) : I --> B )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) : I --> B )
3		elmapg 6548	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
4	3	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
5	2, 4	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) )
6		fdiagfn.f	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )
7	5, 6	fmptd 5567	1 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3522   |-> cmpt 3984   X. cxp 4532   -->wf 5114  (class class class)co 5767   ^m cmap 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-map 6537

This theorem is referenced by: (None)