Theorem fdiagfn 6538

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	|- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	|- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5277	. . . 4 |- ( x e. B -> ( I X. { x } ) : I --> B )
2	1	adantl 273	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) : I --> B )
3		elmapg 6507	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
4	3	adantr 272	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
5	2, 4	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) )
6		fdiagfn.f	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )
7	5, 6	fmptd 5526	1 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   {csn 3491   |-> cmpt 3947   X. cxp 4495   -->wf 5075  (class class class)co 5726   ^m cmap 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-map 6496

This theorem is referenced by: (None)