Theorem fdiagfn 6682

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	|- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	|- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5406	. . . 4 |- ( x e. B -> ( I X. { x } ) : I --> B )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) : I --> B )
3		elmapg 6651	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
5	2, 4	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) )
6		fdiagfn.f	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )
7	5, 6	fmptd 5662	1 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   {csn 3589   |-> cmpt 4059   X. cxp 4618   -->wf 5204  (class class class)co 5865   ^m cmap 6638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-map 6640

This theorem is referenced by: (None)