Theorem fdiagfn 6866

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	|- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	|- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5538	. . . 4 |- ( x e. B -> ( I X. { x } ) : I --> B )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) : I --> B )
3		elmapg 6835	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) <-> ( I X. { x } ) : I --> B ) )
5	2, 4	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ I e. W ) /\ x e. B ) -> ( I X. { x } ) e. ( B ^m I ) )
6		fdiagfn.f	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( I X. { x } ) )
7	5, 6	fmptd 5804	1 |- ( ( B e. V /\ I e. W ) -> F : B --> ( B ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   {csn 3670   |-> cmpt 4151   X. cxp 4725   -->wf 5324  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-map 6824

This theorem is referenced by: (None)