Theorem elmapg 6825

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6822	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ^m B ) = { g | g : B --> A } )
2	1	eleq2d 2299	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C e. { g | g : B --> A } ) )
3		fex2 5500	. . . . 5 |- ( ( C : B --> A /\ B e. W /\ A e. V ) -> C e. _V )
4	3	3com13 1232	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C : B --> A ) -> C e. _V )
5	4	3expia 1229	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C : B --> A -> C e. _V ) )
6		feq1 5462	. . . 4 |- ( g = C -> ( g : B --> A <-> C : B --> A ) )
7	6	elab3g 2955	. . 3 |- ( ( C : B --> A -> C e. _V ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
8	5, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
9	2, 8	bitrd 188	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2800   -->wf 5320  (class class class)co 6013   ^m cmap 6812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-map 6814

This theorem is referenced by:  elmapd  6826  mapdm0  6827  elmapi  6834  elmap  6841  map0e  6850  map0g  6852  fdiagfn  6856  ixpssmap2g  6891  map1  6982  mapxpen  7029  infnninf  7314  isomnimap  7327  enomnilem  7328  ismkvmap  7344  enmkvlem  7351  iswomnimap  7356  enwomnilem  7359  hashfacen  11090  wrdnval  11134  omctfn  13054  pwselbasb  13366  psrbag  14673  iscn  14911  iscnp  14913  cndis  14955  ispsmet  15037  ismet  15058  isxmet  15059  elcncf  15287  elply2  15449  plyf  15451  elplyr  15454  plyaddlem  15463  plymullem  15464  plyco  15473  nnsf  16543