ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmapg Unicode version

Theorem elmapg 6548
Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapg
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapvalg 6545 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ^m  B
)  =  { g  |  g : B --> A } )
21eleq2d 2207 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C  e.  { g  |  g : B --> A } ) )
3 fex2 5286 . . . . 5  |-  ( ( C : B --> A  /\  B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  C  e.  _V )
433com13 1186 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C : B --> A )  ->  C  e.  _V )
543expia 1183 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C : B --> A  ->  C  e.  _V ) )
6 feq1 5250 . . . 4  |-  ( g  =  C  ->  (
g : B --> A  <->  C : B
--> A ) )
76elab3g 2830 . . 3  |-  ( ( C : B --> A  ->  C  e.  _V )  ->  ( C  e.  {
g  |  g : B --> A }  <->  C : B
--> A ) )
85, 7syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  {
g  |  g : B --> A }  <->  C : B
--> A ) )
92, 8bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( C  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
C : B --> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   {cab 2123   _Vcvv 2681   -->wf 5114  (class class class)co 5767    ^m cmap 6535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-map 6537
This theorem is referenced by:  elmapd  6549  mapdm0  6550  elmapi  6557  elmap  6564  map0e  6573  map0g  6575  fdiagfn  6579  ixpssmap2g  6614  map1  6699  mapxpen  6735  isomnimap  7002  enomnilem  7003  ismkvmap  7021  hashfacen  10572  iscn  12355  iscnp  12357  cndis  12399  ispsmet  12481  ismet  12502  isxmet  12503  elcncf  12718  nnsf  13188
  Copyright terms: Public domain W3C validator