Theorem elmapg 6717

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6714	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ^m B ) = { g | g : B --> A } )
2	1	eleq2d 2263	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C e. { g | g : B --> A } ) )
3		fex2 5423	. . . . 5 |- ( ( C : B --> A /\ B e. W /\ A e. V ) -> C e. _V )
4	3	3com13 1210	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C : B --> A ) -> C e. _V )
5	4	3expia 1207	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C : B --> A -> C e. _V ) )
6		feq1 5387	. . . 4 |- ( g = C -> ( g : B --> A <-> C : B --> A ) )
7	6	elab3g 2912	. . 3 |- ( ( C : B --> A -> C e. _V ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
8	5, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
9	2, 8	bitrd 188	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   -->wf 5251  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706

This theorem is referenced by:  elmapd  6718  mapdm0  6719  elmapi  6726  elmap  6733  map0e  6742  map0g  6744  fdiagfn  6748  ixpssmap2g  6783  map1  6868  mapxpen  6906  infnninf  7185  isomnimap  7198  enomnilem  7199  ismkvmap  7215  enmkvlem  7222  iswomnimap  7227  enwomnilem  7230  hashfacen  10910  wrdnval  10947  omctfn  12603  psrbag  14166  iscn  14376  iscnp  14378  cndis  14420  ispsmet  14502  ismet  14523  isxmet  14524  elcncf  14752  elply2  14914  plyf  14916  elplyr  14919  plyaddlem  14928  plymullem  14929  plyco  14937  nnsf  15565