Theorem elmapg 6925

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6922	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ^m B ) = { g | g : B --> A } )
2	1	eleq2d 2308	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C e. { g | g : B --> A } ) )
3		fex2 5551	. . . . 5 |- ( ( C : B --> A /\ B e. W /\ A e. V ) -> C e. _V )
4	3	3com13 1239	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C : B --> A ) -> C e. _V )
5	4	3expia 1236	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C : B --> A -> C e. _V ) )
6		feq1 5511	. . . 4 |- ( g = C -> ( g : B --> A <-> C : B --> A ) )
7	6	elab3g 2977	. . 3 |- ( ( C : B --> A -> C e. _V ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
8	5, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
9	2, 8	bitrd 188	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   -->wf 5368  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-map 6914

This theorem is referenced by:  elmapd  6926  mapdm0  6927  elmapi  6934  elmap  6948  map0e  6957  map0g  6959  fdiagfn  6964  ixpssmap2g  6999  map1  7091  mapxpen  7138  infnninf  7454  isomnimap  7467  enomnilem  7468  ismkvmap  7484  enmkvlem  7491  iswomnimap  7496  enwomnilem  7499  hashfacen  11262  wrdnval  11313  omctfn  13312  pwselbasb  14183  psrbag  14976  psrbagaddclfi  14984  iscn  15221  iscnp  15223  cndis  15265  ispsmet  15347  ismet  15368  isxmet  15369  elcncf  15597  elply2  15759  plyf  15761  elplyr  15764  plyaddlem  15773  plymullem  15774  plyco  15783  nnsf  16953