Theorem elmapg 6816

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6813	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ^m B ) = { g | g : B --> A } )
2	1	eleq2d 2299	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C e. { g | g : B --> A } ) )
3		fex2 5494	. . . . 5 |- ( ( C : B --> A /\ B e. W /\ A e. V ) -> C e. _V )
4	3	3com13 1232	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C : B --> A ) -> C e. _V )
5	4	3expia 1229	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C : B --> A -> C e. _V ) )
6		feq1 5456	. . . 4 |- ( g = C -> ( g : B --> A <-> C : B --> A ) )
7	6	elab3g 2954	. . 3 |- ( ( C : B --> A -> C e. _V ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
8	5, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. { g | g : B --> A } <-> C : B --> A ) )
9	2, 8	bitrd 188	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2799   -->wf 5314  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-map 6805

This theorem is referenced by:  elmapd  6817  mapdm0  6818  elmapi  6825  elmap  6832  map0e  6841  map0g  6843  fdiagfn  6847  ixpssmap2g  6882  map1  6973  mapxpen  7017  infnninf  7302  isomnimap  7315  enomnilem  7316  ismkvmap  7332  enmkvlem  7339  iswomnimap  7344  enwomnilem  7347  hashfacen  11071  wrdnval  11115  omctfn  13029  pwselbasb  13341  psrbag  14648  iscn  14886  iscnp  14888  cndis  14930  ispsmet  15012  ismet  15033  isxmet  15034  elcncf  15262  elply2  15424  plyf  15426  elplyr  15429  plyaddlem  15438  plymullem  15439  plyco  15448  nnsf  16435