Theorem fdiagfn 6968

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5589	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
3		elmapg 6929	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
5	2, 4	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
6		fdiagfn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	5, 6	fmptd 5856	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3708   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770  ⟶wf 5371  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-map 6918

This theorem is referenced by: (None)