Theorem fdiagfn 6929

Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fdiagfn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
fdiagfn	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fdiagfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5568	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵)
3		elmapg 6897	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼⟶𝐵))
5	2, 4	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼))
6		fdiagfn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	5, 6	fmptd 5833	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3691   ↦ cmpt 4173   × cxp 4749  ⟶wf 5350  (class class class)co 6052   ↑_𝑚 cmap 6884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-map 6886

This theorem is referenced by: (None)