ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fdiagfn GIF version

Theorem fdiagfn 6719
Description: Functionality of the diagonal map. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fdiagfn.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
fdiagfn ((𝐵𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵𝑚 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fdiagfn
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5433 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵)
21adantl 277 . . 3 (((𝐵𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵)
3 elmapg 6688 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐼𝑊) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵))
43adantr 276 . . 3 (((𝐵𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {𝑥}):𝐼𝐵))
52, 4mpbird 167 . 2 (((𝐵𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐼 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
6 fdiagfn.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
75, 6fmptd 5691 1 ((𝐵𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵𝑚 𝐼))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  {csn 3607  cmpt 4079   × cxp 4642  wf 5231  (class class class)co 5897  𝑚 cmap 6675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-map 6677
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator