Theorem mapss 6681

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )

Proof of Theorem mapss

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6660	. . . . . 6 |- ( f e. ( A ^m C ) -> f : C --> A )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> f : C --> A )
3		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> A C_ B )
4	2, 3	fssd 5370	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> f : C --> B )
5		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> B e. V )
6		elmapex 6659	. . . . . . 7 |- ( f e. ( A ^m C ) -> ( A e. _V /\ C e. _V ) )
7	6	simprd 114	. . . . . 6 |- ( f e. ( A ^m C ) -> C e. _V )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> C e. _V )
9	5, 8	elmapd 6652	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> ( f e. ( B ^m C ) <-> f : C --> B ) )
10	4, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> f e. ( B ^m C ) )
11	10	ex 115	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( f e. ( A ^m C ) -> f e. ( B ^m C ) ) )
12	11	ssrdv 3159	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   C_ wss 3127   -->wf 5204  (class class class)co 5865   ^m cmap 6638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-map 6640

This theorem is referenced by:  mapdom1g  6837  bj-charfunbi  14103