Theorem mapss 6691

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )

Proof of Theorem mapss

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6670	. . . . . 6 |- ( f e. ( A ^m C ) -> f : C --> A )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> f : C --> A )
3		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> A C_ B )
4	2, 3	fssd 5379	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> f : C --> B )
5		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> B e. V )
6		elmapex 6669	. . . . . . 7 |- ( f e. ( A ^m C ) -> ( A e. _V /\ C e. _V ) )
7	6	simprd 114	. . . . . 6 |- ( f e. ( A ^m C ) -> C e. _V )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> C e. _V )
9	5, 8	elmapd 6662	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> ( f e. ( B ^m C ) <-> f : C --> B ) )
10	4, 9	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ A C_ B ) /\ f e. ( A ^m C ) ) -> f e. ( B ^m C ) )
11	10	ex 115	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( f e. ( A ^m C ) -> f e. ( B ^m C ) ) )
12	11	ssrdv 3162	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A ^m C ) C_ ( B ^m C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   -->wf 5213  (class class class)co 5875   ^m cmap 6648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-map 6650

This theorem is referenced by:  mapdom1g  6847  bj-charfunbi  14566