Theorem finnum 7261

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	|- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Proof of Theorem finnum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6829	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		nnon 4647	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. On )
3		ensym 6849	. . . 4 |- ( A ~~ x -> x ~~ A )
4		isnumi 7260	. . . 4 |- ( ( x e. On /\ x ~~ A ) -> A e. dom card )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( x e. om /\ A ~~ x ) -> A e. dom card )
6	5	rexlimiva 2609	. 2 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. dom card )
7	1, 6	sylbi 121	1 |- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   Oncon0 4399   omcom 4627   dom cdm 4664   ~~ cen 6806   Fincfn 6808   cardccrd 7255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-card 7257

This theorem is referenced by: (None)