Theorem finnum 7147

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	|- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Proof of Theorem finnum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6735	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		nnon 4592	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. On )
3		ensym 6755	. . . 4 |- ( A ~~ x -> x ~~ A )
4		isnumi 7146	. . . 4 |- ( ( x e. On /\ x ~~ A ) -> A e. dom card )
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . 3 |- ( ( x e. om /\ A ~~ x ) -> A e. dom card )
6	5	rexlimiva 2582	. 2 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. dom card )
7	1, 6	sylbi 120	1 |- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   Oncon0 4346   omcom 4572   dom cdm 4609   ~~ cen 6712   Fincfn 6714   cardccrd 7143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717  df-card 7144

This theorem is referenced by: (None)