Theorem finnum 7243

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	|- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Proof of Theorem finnum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6815	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		nnon 4642	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. On )
3		ensym 6835	. . . 4 |- ( A ~~ x -> x ~~ A )
4		isnumi 7242	. . . 4 |- ( ( x e. On /\ x ~~ A ) -> A e. dom card )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( x e. om /\ A ~~ x ) -> A e. dom card )
6	5	rexlimiva 2606	. 2 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. dom card )
7	1, 6	sylbi 121	1 |- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   Oncon0 4394   omcom 4622   dom cdm 4659   ~~ cen 6792   Fincfn 6794   cardccrd 7239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-card 7240

This theorem is referenced by: (None)