ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  finnum Unicode version

Theorem finnum 7147
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem finnum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6735 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 nnon 4592 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
3 ensym 6755 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  ->  x  ~~  A )
4 isnumi 7146 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
52, 3, 4syl2an 287 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  ->  A  e.  dom  card )
65rexlimiva 2582 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  e. 
dom  card )
71, 6sylbi 120 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   Oncon0 4346   omcom 4572   dom cdm 4609    ~~ cen 6712   Fincfn 6714   cardccrd 7143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717  df-card 7144
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator