Theorem finnum 6986

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	|- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Proof of Theorem finnum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6607	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		nnon 4481	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. On )
3		ensym 6627	. . . 4 |- ( A ~~ x -> x ~~ A )
4		isnumi 6985	. . . 4 |- ( ( x e. On /\ x ~~ A ) -> A e. dom card )
5	2, 3, 4	syl2an 285	. . 3 |- ( ( x e. om /\ A ~~ x ) -> A e. dom card )
6	5	rexlimiva 2516	. 2 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. dom card )
7	1, 6	sylbi 120	1 |- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1461   E.wrex 2389   class class class wbr 3893   Oncon0 4243   omcom 4462   dom cdm 4497   ~~ cen 6584   Fincfn 6586   cardccrd 6982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-er 6381  df-en 6587  df-fin 6589  df-card 6983

This theorem is referenced by: (None)