ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  finnum GIF version

Theorem finnum 6714
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6408 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2 nnon 4387 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3 ensym 6428 . . . 4 (𝐴𝑥𝑥𝐴)
4 isnumi 6713 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
52, 3, 4syl2an 283 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
65rexlimiva 2478 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥𝐴 ∈ dom card)
71, 6sylbi 119 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  wrex 2354   class class class wbr 3811  Oncon0 4154  ωcom 4368  dom cdm 4401  cen 6385  Fincfn 6387  cardccrd 6710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-er 6222  df-en 6388  df-fin 6390  df-card 6711
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator