Theorem finnum 7039

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6655	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnon 4523	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3		ensym 6675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnumi 7038	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
6	5	rexlimiva 2544	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom card)
7	1, 6	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  Oncon0 4285  ωcom 4504  dom cdm 4539   ≈ cen 6632  Fincfn 6634  cardccrd 7035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-card 7036

This theorem is referenced by: (None)