Theorem finnum 7139

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem finnum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6727	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnon 4587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
3		ensym 6747	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐴)
4		isnumi 7138	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom card)
6	5	rexlimiva 2578	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom card)
7	1, 6	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  Oncon0 4341  ωcom 4567  dom cdm 4604   ≈ cen 6704  Fincfn 6706  cardccrd 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-card 7136

This theorem is referenced by: (None)