ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ftpg GIF version

Theorem ftpg 5423
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ftpg (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem ftpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 936 . . . 4 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (𝑋𝑈𝑌𝑉))
2 3simpa 936 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → (𝐴𝐹𝐵𝐺))
3 simp1 939 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 fprg 5422 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
51, 2, 3, 4syl3an 1212 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
6 eqidd 2084 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩})
7 simp3 941 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → 𝑍𝑊)
8 simp3 941 . . . . . . 7 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → 𝐶𝐻)
97, 8anim12i 331 . . . . . 6 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻)) → (𝑍𝑊𝐶𝐻))
1093adant3 959 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑍𝑊𝐶𝐻))
11 fsng 5412 . . . . 5 ((𝑍𝑊𝐶𝐻) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
1210, 11syl 14 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶} ↔ {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
136, 12mpbird 165 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶})
14 df-ne 2250 . . . . . . 7 (𝑋𝑍 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑍)
15 df-ne 2250 . . . . . . 7 (𝑌𝑍 ↔ ¬ 𝑌 = 𝑍)
16 elpri 3445 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌))
17 eqcom 2085 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑋𝑋 = 𝑍)
18 eqcom 2085 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑌𝑌 = 𝑍)
1917, 18orbi12i 714 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑍𝑌 = 𝑍))
2016, 19sylib 120 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑋 = 𝑍𝑌 = 𝑍))
21 oranim 841 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 𝑍𝑌 = 𝑍) → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ∧ ¬ 𝑌 = 𝑍))
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (¬ 𝑋 = 𝑍 ∧ ¬ 𝑌 = 𝑍))
2322con2i 590 . . . . . . 7 ((¬ 𝑋 = 𝑍 ∧ ¬ 𝑌 = 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2414, 15, 23syl2anb 285 . . . . . 6 ((𝑋𝑍𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
25243adant1 957 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
26253ad2ant3 962 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
27 disjsn 3478 . . . 4 (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2826, 27sylibr 132 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
29 fun 5132 . . 3 ((({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑍}⟶{𝐶}) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
305, 13, 28, 29syl21anc 1169 . 2 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
31 df-tp 3430 . . . 4 {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
3231feq1i 5107 . . 3 ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
33 df-tp 3430 . . . 4 {𝑋, 𝑌, 𝑍} = ({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})
34 df-tp 3430 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
3533, 34feq23i 5109 . . 3 (({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3632, 35bitri 182 . 2 ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}):({𝑋, 𝑌} ∪ {𝑍})⟶({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3730, 36sylibr 132 1 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩}:{𝑋, 𝑌, 𝑍}⟶{𝐴, 𝐵, 𝐶})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  cun 2982  cin 2983  c0 3269  {csn 3422  {cpr 3423  {ctp 3424  cop 3425  wf 4965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-tp 3430  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976
This theorem is referenced by:  ftp  5424
  Copyright terms: Public domain W3C validator