Theorem grpinv11 13271

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grpinv11.x	|- ( ph -> X e. B )
grpinv11.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	|- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` ( N ` Y ) ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` ( N ` Y ) ) )
3		grpinv11.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
4		grpinv11.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
5		grpinvinv.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
6		grpinvinv.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` G )
7	5, 6	grpinvinv 13269	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
10		grpinv11.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. B )
11	5, 6	grpinvinv 13269	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
14	2, 9, 13	3eqtr3d 2237	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> X = Y )
15	14	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) -> X = Y ) )
16		fveq2 5561	. 2 |- ( X = Y -> ( N ` X ) = ( N ` Y ) )
17	15, 16	impbid1 142	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259   Basecbs 12703   Grpcgrp 13202   invgcminusg 13203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206

This theorem is referenced by: (None)