Theorem grpinv11 13651

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grpinv11.x	|- ( ph -> X e. B )
grpinv11.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	|- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` ( N ` Y ) ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` ( N ` Y ) ) )
3		grpinv11.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
4		grpinv11.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
5		grpinvinv.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
6		grpinvinv.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` G )
7	5, 6	grpinvinv 13649	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
10		grpinv11.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. B )
11	5, 6	grpinvinv 13649	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
14	2, 9, 13	3eqtr3d 2272	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> X = Y )
15	14	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) -> X = Y ) )
16		fveq2 5639	. 2 |- ( X = Y -> ( N ` X ) = ( N ` Y ) )
17	15, 16	impbid1 142	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   Basecbs 13081   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586

This theorem is referenced by: (None)