Theorem grpinv11 12945

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grpinv11.x	|- ( ph -> X e. B )
grpinv11.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	|- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5517	. . . . 5 |- ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` ( N ` Y ) ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = ( N ` ( N ` Y ) ) )
3		grpinv11.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
4		grpinv11.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
5		grpinvinv.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
6		grpinvinv.n	. . . . . . 7 |- N = ( invg ` G )
7	5, 6	grpinvinv 12943	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )
10		grpinv11.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. B )
11	5, 6	grpinvinv 12943	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
14	2, 9, 13	3eqtr3d 2218	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N ` X ) = ( N ` Y ) ) -> X = Y )
15	14	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) -> X = Y ) )
16		fveq2 5517	. 2 |- ( X = Y -> ( N ` X ) = ( N ` Y ) )
17	15, 16	impbid1 142	1 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( N ` Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218   Basecbs 12465   Grpcgrp 12883   invgcminusg 12884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-inn 8923  df-2 8981  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-plusg 12552  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-minusg 12887

This theorem is referenced by: (None)