Theorem grpinv11 13771

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5669	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
3		grpinv11.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		grpinv11.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		grpinvinv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpinvinv.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	5, 6	grpinvinv 13769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
10		grpinv11.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpinvinv 13769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
14	2, 9, 13	3eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
15	14	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
16		fveq2 5669	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
17	15, 16	impbid1 142	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  Basecbs 13201  Grpcgrp 13702  inv_gcminusg 13703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-inn 9234  df-2 9292  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706

This theorem is referenced by: (None)