Theorem grpinv11 13568

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5603	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
3		grpinv11.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		grpinv11.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		grpinvinv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpinvinv.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	5, 6	grpinvinv 13566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
10		grpinv11.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpinvinv 13566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
14	2, 9, 13	3eqtr3d 2250	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
15	14	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
16		fveq2 5603	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
17	15, 16	impbid1 142	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  Basecbs 12998  Grpcgrp 13499  inv_gcminusg 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-inn 9079  df-2 9137  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503

This theorem is referenced by: (None)