Theorem grpinv11 13654

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5639	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
3		grpinv11.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		grpinv11.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		grpinvinv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpinvinv.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	5, 6	grpinvinv 13652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8	3, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
10		grpinv11.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpinvinv 13652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
12	3, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
14	2, 9, 13	3eqtr3d 2272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
15	14	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
16		fveq2 5639	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
17	15, 16	impbid1 142	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  Basecbs 13084  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589

This theorem is referenced by: (None)