Theorem grpinvinv 13730

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Proof of Theorem grpinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13711	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 4, 5, 2	grprinv 13714	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
7	3, 6	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
8	1, 4, 5, 2	grplinv 13713	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) = ( 0g ` G ) )
9	7, 8	eqtr4d 2267	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> G e. Grp )
11	1, 2	grpinvcl 13711	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
12	3, 11	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
14	1, 4	grplcan 13725	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( N ` ( N ` X ) ) e. B /\ X e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
15	10, 12, 13, 3, 14	syl13anc 1276	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
16	9, 15	mpbid 147	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Grpcgrp 13663   invgcminusg 13664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667

This theorem is referenced by:  grpinv11  13732  grpinvnz  13734  grpsubinv  13736  grpinvsub  13745  grpsubeq0  13749  grpnpcan  13755  mulgneg  13807  mulgnegneg  13808  mulginvinv  13815  mulgdir  13821  mulgass  13826  eqger  13891  ablsub2inv  13978  invghm  13996  rngm2neg  14043  ringm2neg  14149  unitinvinv  14219  unitnegcl  14225  lspsnneg  14516