Theorem grpinvinv 13616

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Proof of Theorem grpinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13597	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 4, 5, 2	grprinv 13600	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
7	3, 6	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
8	1, 4, 5, 2	grplinv 13599	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) = ( 0g ` G ) )
9	7, 8	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> G e. Grp )
11	1, 2	grpinvcl 13597	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
12	3, 11	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
14	1, 4	grplcan 13611	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( N ` ( N ` X ) ) e. B /\ X e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
15	10, 12, 13, 3, 14	syl13anc 1273	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
16	9, 15	mpbid 147	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13048   +g cplusg 13126   0gc0g 13305   Grpcgrp 13549   invgcminusg 13550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-plusg 13139  df-0g 13307  df-mgm 13405  df-sgrp 13451  df-mnd 13466  df-grp 13552  df-minusg 13553

This theorem is referenced by:  grpinv11  13618  grpinvnz  13620  grpsubinv  13622  grpinvsub  13631  grpsubeq0  13635  grpnpcan  13641  mulgneg  13693  mulgnegneg  13694  mulginvinv  13701  mulgdir  13707  mulgass  13712  eqger  13777  ablsub2inv  13864  invghm  13882  rngm2neg  13928  ringm2neg  14034  unitinvinv  14104  unitnegcl  14110  lspsnneg  14400