Theorem grpinvinv 12869

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Proof of Theorem grpinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 12853	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
4		eqid 2177	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		eqid 2177	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 4, 5, 2	grprinv 12855	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
7	3, 6	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
8	1, 4, 5, 2	grplinv 12854	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) = ( 0g ` G ) )
9	7, 8	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> G e. Grp )
11	1, 2	grpinvcl 12853	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
12	3, 11	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
14	1, 4	grplcan 12864	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( N ` ( N ` X ) ) e. B /\ X e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
15	10, 12, 13, 3, 14	syl13anc 1240	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
16	9, 15	mpbid 147	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   0gc0g 12693   Grpcgrp 12809   invgcminusg 12810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813

This theorem is referenced by:  grpinv11  12871  grpinvnz  12873  grpsubinv  12875  grpinvsub  12884  grpsubeq0  12888  grpnpcan  12894  mulgneg  12933  mulgnegneg  12934  mulginvinv  12940  mulgdir  12946  mulgass  12951  eqger  13014  ablsub2inv  13045  ringm2neg  13163  unitinvinv  13224  unitnegcl  13230