Theorem grpinvinv 13600

Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvinv	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Proof of Theorem grpinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13581	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	1, 4, 5, 2	grprinv 13584	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
7	3, 6	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
8	1, 4, 5, 2	grplinv 13583	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) = ( 0g ` G ) )
9	7, 8	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> G e. Grp )
11	1, 2	grpinvcl 13581	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
12	3, 11	syldan 282	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) e. B )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> X e. B )
14	1, 4	grplcan 13595	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( N ` ( N ` X ) ) e. B /\ X e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
15	10, 12, 13, 3, 14	syl13anc 1273	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( ( N ` X ) ( +g ` G ) ( N ` ( N ` X ) ) ) = ( ( N ` X ) ( +g ` G ) X ) <-> ( N ` ( N ` X ) ) = X ) )
16	9, 15	mpbid 147	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` ( N ` X ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   0gc0g 13289   Grpcgrp 13533   invgcminusg 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537

This theorem is referenced by:  grpinv11  13602  grpinvnz  13604  grpsubinv  13606  grpinvsub  13615  grpsubeq0  13619  grpnpcan  13625  mulgneg  13677  mulgnegneg  13678  mulginvinv  13685  mulgdir  13691  mulgass  13696  eqger  13761  ablsub2inv  13848  invghm  13866  rngm2neg  13912  ringm2neg  14018  unitinvinv  14088  unitnegcl  14094  lspsnneg  14384