Theorem grpinvf1o 12894

Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
grpinvf1o	|- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem grpinvf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv11.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvf 12874	. . . 4 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N : B --> B )
6	5	ffnd 5366	. 2 |- ( ph -> N Fn B )
7	2, 3	grpinvcnv 12892	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> `' N = N )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' N = N )
9	8	fneq1d 5306	. . 3 |- ( ph -> ( `' N Fn B <-> N Fn B ) )
10	6, 9	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> `' N Fn B )
11		dff1o4 5469	. 2 |- ( N : B -1-1-onto-> B <-> ( N Fn B /\ `' N Fn B ) )
12	6, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   `'ccnv 4625   Fn wfn 5211   -->wf 5212   -1-1-onto->wf1o 5215   ` cfv 5216   Basecbs 12456   Grpcgrp 12831   invgcminusg 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835

This theorem is referenced by: (None)