Theorem grpinvf1o 13652

Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
grpinvf1o	|- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem grpinvf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv11.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvf 13629	. . . 4 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N : B --> B )
6	5	ffnd 5483	. 2 |- ( ph -> N Fn B )
7	2, 3	grpinvcnv 13650	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> `' N = N )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' N = N )
9	8	fneq1d 5420	. . 3 |- ( ph -> ( `' N Fn B <-> N Fn B ) )
10	6, 9	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> `' N Fn B )
11		dff1o4 5591	. 2 |- ( N : B -1-1-onto-> B <-> ( N Fn B /\ `' N Fn B ) )
12	6, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   `'ccnv 4724   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326   Basecbs 13081   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586

This theorem is referenced by:  psrnegcl  14696  psrlinv  14697