Theorem grpinvf1o 13145

Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
grpinvf1o	|- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem grpinvf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv11.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvf 13122	. . . 4 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N : B --> B )
6	5	ffnd 5405	. 2 |- ( ph -> N Fn B )
7	2, 3	grpinvcnv 13143	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> `' N = N )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' N = N )
9	8	fneq1d 5345	. . 3 |- ( ph -> ( `' N Fn B <-> N Fn B ) )
10	6, 9	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> `' N Fn B )
11		dff1o4 5509	. 2 |- ( N : B -1-1-onto-> B <-> ( N Fn B /\ `' N Fn B ) )
12	6, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   `'ccnv 4659   Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Basecbs 12621   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

This theorem is referenced by: (None)