Theorem grpinvf1o 13825

Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
grpinvf1o	|- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem grpinvf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv11.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvf 13802	. . . 4 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N : B --> B )
6	5	ffnd 5514	. 2 |- ( ph -> N Fn B )
7	2, 3	grpinvcnv 13823	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> `' N = N )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' N = N )
9	8	fneq1d 5451	. . 3 |- ( ph -> ( `' N Fn B <-> N Fn B ) )
10	6, 9	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> `' N Fn B )
11		dff1o4 5627	. 2 |- ( N : B -1-1-onto-> B <-> ( N Fn B /\ `' N Fn B ) )
12	6, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   `'ccnv 4753   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357   Basecbs 13296   Grpcgrp 13755   invgcminusg 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759

This theorem is referenced by:  psrnegcl  14964  psrlinv  14965