Theorem grpinvf1o 13716

Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvinv.n	|- N = ( invg ` G )
grpinv11.g	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
grpinvf1o	|- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem grpinvf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv11.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpinvinv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		grpinvinv.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` G )
4	2, 3	grpinvf 13693	. . . 4 |- ( G e. Grp -> N : B --> B )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N : B --> B )
6	5	ffnd 5490	. 2 |- ( ph -> N Fn B )
7	2, 3	grpinvcnv 13714	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> `' N = N )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' N = N )
9	8	fneq1d 5427	. . 3 |- ( ph -> ( `' N Fn B <-> N Fn B ) )
10	6, 9	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> `' N Fn B )
11		dff1o4 5600	. 2 |- ( N : B -1-1-onto-> B <-> ( N Fn B /\ `' N Fn B ) )
12	6, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> N : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   `'ccnv 4730   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333   Basecbs 13145   Grpcgrp 13646   invgcminusg 13647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650

This theorem is referenced by:  psrnegcl  14767  psrlinv  14768