Theorem grpinvcld 13854

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcld.b	|- B = ( Base ` G )
grpinvcld.n	|- N = ( invg ` G )
grpinvcld.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grpinvcld.1	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
grpinvcld	|- ( ph -> ( N ` X ) e. B )

Proof of Theorem grpinvcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcld.g	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grpinvcld.1	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grpinvcld.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
4		grpinvcld.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
5	3, 4	grpinvcl 13853	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
6	1, 2, 5	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( N ` X ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377   Basecbs 13352   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809

This theorem is used by:  conjnmz  14082  prdsinvlem  14196  rngmneg1  14246  rngmneg2  14247  rngm2neg  14248  rngsubdi  14250  rngsubdir  14251