Theorem fprodge0 11919

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	|- F/ k ph
fprodge0.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodge0.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodge0.0leb	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	|- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A B )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8118	. 2 |- 0 e. RR*
2		pnfxr 8124	. 2 |- +oo e. RR*
3		fprodge0.kph	. . 3 |- F/ k ph
4		rge0ssre 10098	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
5		ax-resscn 8016	. . . . 5 |- RR C_ CC
6	4, 5	sstri 3201	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
8		ge0mulcl 10103	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10		fprodge0.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fprodge0.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
12		fprodge0.0leb	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
13		elrege0 10097	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
14	11, 12, 13	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
15		1re 8070	. . . . 5 |- 1 e. RR
16		0le1 8553	. . . . 5 |- 0 <_ 1
17		ltpnf 9901	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR -> 1 < +oo )
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1 < +oo
19		0re 8071	. . . . . 6 |- 0 e. RR
20		elico2 10058	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 /\ 1 < +oo ) ) )
21	19, 2, 20	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 /\ 1 < +oo ) )
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1181	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,) +oo )
23	22	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ( 0 [,) +oo ) )
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 11895	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
25		icogelb 10406	. 2 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ prod_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ prod_ k e. A B )
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1353	1 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   F/wnf 1482   e. wcel 2175   C_ wss 3165   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   Fincfn 6826   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925   x. cmul 7929   +oocpnf 8103   RR*cxr 8105   < clt 8106   <_ cle 8107   [,)cico 10011   prod_cprod 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-ico 10015  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-ihash 10919  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-clim 11561  df-proddc 11833

This theorem is referenced by:  fprodle  11922