Theorem fprodge0 12327

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	|- F/ k ph
fprodge0.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodge0.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodge0.0leb	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	|- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A B )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8322	. 2 |- 0 e. RR*
2		pnfxr 8328	. 2 |- +oo e. RR*
3		fprodge0.kph	. . 3 |- F/ k ph
4		rge0ssre 10313	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
5		ax-resscn 8221	. . . . 5 |- RR C_ CC
6	4, 5	sstri 3249	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
8		ge0mulcl 10318	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10		fprodge0.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fprodge0.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
12		fprodge0.0leb	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
13		elrege0 10312	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
14	11, 12, 13	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
15		1re 8275	. . . . 5 |- 1 e. RR
16		0le1 8757	. . . . 5 |- 0 <_ 1
17		ltpnf 10116	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR -> 1 < +oo )
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1 < +oo
19		0re 8276	. . . . . 6 |- 0 e. RR
20		elico2 10273	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 /\ 1 < +oo ) ) )
21	19, 2, 20	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 /\ 1 < +oo ) )
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1206	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,) +oo )
23	22	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ( 0 [,) +oo ) )
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 12303	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
25		icogelb 10629	. 2 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ prod_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ prod_ k e. A B )
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1378	1 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   F/wnf 1509   e. wcel 2205   C_ wss 3213   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   Fincfn 6977   CCcc 8127   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   x. cmul 8134   +oocpnf 8307   RR*cxr 8309   < clt 8310   <_ cle 8311   [,)cico 10226   prod_cprod 12240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-ico 10230  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-ihash 11143  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-proddc 12241

This theorem is referenced by:  fprodle  12330