Theorem fprodge0 12261

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	|- F/ k ph
fprodge0.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodge0.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodge0.0leb	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	|- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A B )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8268	. 2 |- 0 e. RR*
2		pnfxr 8274	. 2 |- +oo e. RR*
3		fprodge0.kph	. . 3 |- F/ k ph
4		rge0ssre 10256	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
5		ax-resscn 8167	. . . . 5 |- RR C_ CC
6	4, 5	sstri 3237	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
8		ge0mulcl 10261	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x x. y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10		fprodge0.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fprodge0.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
12		fprodge0.0leb	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
13		elrege0 10255	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
14	11, 12, 13	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
15		1re 8221	. . . . 5 |- 1 e. RR
16		0le1 8703	. . . . 5 |- 0 <_ 1
17		ltpnf 10059	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR -> 1 < +oo )
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1 < +oo
19		0re 8222	. . . . . 6 |- 0 e. RR
20		elico2 10216	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 /\ 1 < +oo ) ) )
21	19, 2, 20	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 /\ 1 < +oo ) )
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1206	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,) +oo )
23	22	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ( 0 [,) +oo ) )
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 12237	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
25		icogelb 10571	. 2 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ prod_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ prod_ k e. A B )
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1378	1 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   F/wnf 1509   e. wcel 2202   C_ wss 3201   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   +oocpnf 8253   RR*cxr 8255   < clt 8256   <_ cle 8257   [,)cico 10169   prod_cprod 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-proddc 12175

This theorem is referenced by:  fprodle  12264