Theorem indconst0 9311

Description: Indicator of the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst0	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

Proof of Theorem indconst0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3561	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2		indval 9305	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑦 ∈ ∅, 1, 0)))
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑦 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑦 ∈ ∅, 1, 0)))
4		noel 3525	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
5	4	iffalsei 3649	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ∅, 1, 0) = 0
6		0re 8332	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	6	elexi 2834	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	elsn2 3743	. . . . 5 ⊢ (if(𝑦 ∈ ∅, 1, 0) ∈ {0} ↔ if(𝑦 ∈ ∅, 1, 0) = 0)
9	5, 8	mpbir 146	. . . 4 ⊢ if(𝑦 ∈ ∅, 1, 0) ∈ {0}
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑂) → if(𝑦 ∈ ∅, 1, 0) ∈ {0})
11	3, 10	fmpt3d 5867	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅):𝑂⟶{0})
12		fconst2g 5933	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (((𝟭‘𝑂)‘∅):𝑂⟶{0} ↔ ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0})))
13	6, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘∅):𝑂⟶{0} ↔ ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))
14	11, 13	sylib 122	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘∅) = (𝑂 × {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3709   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186  𝟭cind 9302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-rnegex 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ind 9303

This theorem is used by: (None)