Theorem iooss2 9935

Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iooss2	|- ( ( C e. RR* /\ B <_ C ) -> ( A (,) B ) C_ ( A (,) C ) )

Proof of Theorem iooss2

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 9910	. 2 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		xrltletr 9825	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( w < B /\ B <_ C ) -> w < C ) )
3	1, 1, 2	ixxss2 9923	1 |- ( ( C e. RR* /\ B <_ C ) -> ( A (,) B ) C_ ( A (,) C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   C_ wss 3144   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RR*cxr 8009   < clt 8010   <_ cle 8011   (,)cioo 9906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-ioo 9910

This theorem is referenced by:  tgqioo  14444  cos0pilt1  14670