Theorem cos0pilt1 15734

Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and pi. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos0pilt1	|- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Proof of Theorem cos0pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10248	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. RR )
2	1	recoscld 12414	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. RR )
3		cospi 15682	. . 3 |- ( cos ` pi ) = -u 1
4		ioossicc 10295	. . . . 5 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
5	4	sseli 3236	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. ( 0 [,] pi ) )
6		0xr 8322	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
7		pire 15668	. . . . . . 7 |- pi e. RR
8	7	rexri 8333	. . . . . 6 |- pi e. RR*
9		0re 8276	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
10		pipos 15670	. . . . . . 7 |- 0 < pi
11	9, 7, 10	ltleii 8378	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
12		ubicc2 10321	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> pi e. ( 0 [,] pi ) )
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1374	. . . . 5 |- pi e. ( 0 [,] pi )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. ( 0 [,] pi ) )
15		eliooord 10264	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < A /\ A < pi ) )
16	15	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A < pi )
17	5, 14, 16	cosordlem 15731	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` pi ) < ( cos ` A ) )
18	3, 17	eqbrtrrid 4147	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> -u 1 < ( cos ` A ) )
19		2re 9309	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
20	19, 7	remulcli 8290	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR
21	20	rexri 8333	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
22		1le2 9448	. . . . . 6 |- 1 <_ 2
23		lemulge12 9143	. . . . . 6 |- ( ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( 0 <_ pi /\ 1 <_ 2 ) ) -> pi <_ ( 2 x. pi ) )
24	7, 19, 11, 22, 23	mp4an 427	. . . . 5 |- pi <_ ( 2 x. pi )
25		iooss2 10253	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR* /\ pi <_ ( 2 x. pi ) ) -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
26	21, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 (,) ( 2 x. pi ) )
27	26	sseli 3236	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
28		cos02pilt1 15733	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
29	27, 28	syl 14	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) < 1 )
30		neg1rr 9345	. . . 4 |- -u 1 e. RR
31	30	rexri 8333	. . 3 |- -u 1 e. RR*
32		1re 8275	. . . 4 |- 1 e. RR
33	32	rexri 8333	. . 3 |- 1 e. RR*
34		elioo2 10257	. . 3 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos ` A ) e. RR /\ -u 1 < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < 1 ) ) )
35	31, 33, 34	mp2an 426	. 2 |- ( ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos ` A ) e. RR /\ -u 1 < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < 1 ) )
36	2, 18, 29, 35	syl3anbrc 1208	1 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   x. cmul 8134   RR*cxr 8309   < clt 8310   <_ cle 8311   -ucneg 8447   2c2 9290   (,)cioo 10224   [,]cicc 10227   cosccos 12335   picpi 12337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249  ax-pre-suploc 8250  ax-addf 8251  ax-mulf 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-pm 6887  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xneg 10108  df-xadd 10109  df-ioo 10228  df-ioc 10229  df-ico 10230  df-icc 10231  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-fac 11092  df-bc 11114  df-ihash 11143  df-shft 11504  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043  df-ef 12338  df-sin 12340  df-cos 12341  df-pi 12343  df-rest 13471  df-topgen 13490  df-psmet 14708  df-xmet 14709  df-met 14710  df-bl 14711  df-mopn 14712  df-top 14880  df-topon 14893  df-bases 14925  df-ntr 14978  df-cn 15070  df-cnp 15071  df-tx 15135  df-cncf 15453  df-limced 15538  df-dvap 15539

This theorem is referenced by:  ioocosf1o  15736