Theorem cos0pilt1 13413

Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and pi. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos0pilt1	|- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Proof of Theorem cos0pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9848	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. RR )
2	1	recoscld 11665	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. RR )
3		cospi 13361	. . 3 |- ( cos ` pi ) = -u 1
4		ioossicc 9895	. . . . 5 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
5	4	sseli 3138	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. ( 0 [,] pi ) )
6		0xr 7945	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
7		pire 13347	. . . . . . 7 |- pi e. RR
8	7	rexri 7956	. . . . . 6 |- pi e. RR*
9		0re 7899	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
10		pipos 13349	. . . . . . 7 |- 0 < pi
11	9, 7, 10	ltleii 8001	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
12		ubicc2 9921	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> pi e. ( 0 [,] pi ) )
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1327	. . . . 5 |- pi e. ( 0 [,] pi )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. ( 0 [,] pi ) )
15		eliooord 9864	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < A /\ A < pi ) )
16	15	simprd 113	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A < pi )
17	5, 14, 16	cosordlem 13410	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` pi ) < ( cos ` A ) )
18	3, 17	eqbrtrrid 4018	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> -u 1 < ( cos ` A ) )
19		2re 8927	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
20	19, 7	remulcli 7913	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR
21	20	rexri 7956	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
22		1le2 9065	. . . . . 6 |- 1 <_ 2
23		lemulge12 8762	. . . . . 6 |- ( ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( 0 <_ pi /\ 1 <_ 2 ) ) -> pi <_ ( 2 x. pi ) )
24	7, 19, 11, 22, 23	mp4an 424	. . . . 5 |- pi <_ ( 2 x. pi )
25		iooss2 9853	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR* /\ pi <_ ( 2 x. pi ) ) -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
26	21, 24, 25	mp2an 423	. . . 4 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 (,) ( 2 x. pi ) )
27	26	sseli 3138	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
28		cos02pilt1 13412	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
29	27, 28	syl 14	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) < 1 )
30		neg1rr 8963	. . . 4 |- -u 1 e. RR
31	30	rexri 7956	. . 3 |- -u 1 e. RR*
32		1re 7898	. . . 4 |- 1 e. RR
33	32	rexri 7956	. . 3 |- 1 e. RR*
34		elioo2 9857	. . 3 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos ` A ) e. RR /\ -u 1 < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < 1 ) ) )
35	31, 33, 34	mp2an 423	. 2 |- ( ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos ` A ) e. RR /\ -u 1 < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < 1 ) )
36	2, 18, 29, 35	syl3anbrc 1171	1 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   -ucneg 8070   2c2 8908   (,)cioo 9824   [,]cicc 9827   cosccos 11586   picpi 11588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ioc 9829  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591  df-cos 11592  df-pi 11594  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  ioocosf1o  13415