ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos0pilt1 Unicode version

Theorem cos0pilt1 14676
Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and  pi. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
cos0pilt1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )

Proof of Theorem cos0pilt1
StepHypRef Expression
1 elioore 9931 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  RR )
21recoscld 11751 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
3 cospi 14624 . . 3  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
4 ioossicc 9978 . . . . 5  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
54sseli 3166 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
6 0xr 8023 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
7 pire 14610 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
87rexri 8034 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR*
9 0re 7976 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
10 pipos 14612 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
119, 7, 10ltleii 8079 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
12 ubicc2 10004 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
136, 8, 11, 12mp3an 1348 . . . . 5  |-  pi  e.  ( 0 [,] pi )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
15 eliooord 9947 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  <  A  /\  A  <  pi ) )
1615simprd 114 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  <  pi )
175, 14, 16cosordlem 14673 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  pi )  < 
( cos `  A
) )
183, 17eqbrtrrid 4054 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u 1  <  ( cos `  A
) )
19 2re 9008 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2019, 7remulcli 7990 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
2120rexri 8034 . . . . 5  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
22 1le2 9146 . . . . . 6  |-  1  <_  2
23 lemulge12 8843 . . . . . 6  |-  ( ( ( pi  e.  RR  /\  2  e.  RR )  /\  ( 0  <_  pi  /\  1  <_  2
) )  ->  pi  <_  ( 2  x.  pi ) )
247, 19, 11, 22, 23mp4an 427 . . . . 5  |-  pi  <_  ( 2  x.  pi )
25 iooss2 9936 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR*  /\  pi  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  (
0 (,) pi ) 
C_  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) ) )
2621, 24, 25mp2an 426 . . . 4  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 (,) (
2  x.  pi ) )
2726sseli 3166 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  A  e.  ( 0 (,) (
2  x.  pi ) ) )
28 cos02pilt1 14675 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  A )  <  1 )
2927, 28syl 14 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  A )  <  1 )
30 neg1rr 9044 . . . 4  |-  -u 1  e.  RR
3130rexri 8034 . . 3  |-  -u 1  e.  RR*
32 1re 7975 . . . 4  |-  1  e.  RR
3332rexri 8034 . . 3  |-  1  e.  RR*
34 elioo2 9940 . . 3  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( cos `  A
)  e.  ( -u
1 (,) 1 )  <-> 
( ( cos `  A
)  e.  RR  /\  -u 1  <  ( cos `  A )  /\  ( cos `  A )  <  1 ) ) )
3531, 33, 34mp2an 426 . 2  |-  ( ( cos `  A )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( ( cos `  A )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( cos `  A
)  /\  ( cos `  A )  <  1
) )
362, 18, 29, 35syl3anbrc 1183 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  A )  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2160    C_ wss 3144   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   RRcr 7829   0cc0 7830   1c1 7831    x. cmul 7835   RR*cxr 8010    < clt 8011    <_ cle 8012   -ucneg 8148   2c2 8989   (,)cioo 9907   [,]cicc 9910   cosccos 11672   picpi 11674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950  ax-pre-suploc 7951  ax-addf 7952  ax-mulf 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-of 6101  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-map 6668  df-pm 6669  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-7 9002  df-8 9003  df-9 9004  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-xadd 9792  df-ioo 9911  df-ioc 9912  df-ico 9913  df-icc 9914  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-fac 10725  df-bc 10747  df-ihash 10775  df-shft 10843  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381  df-ef 11675  df-sin 11677  df-cos 11678  df-pi 11680  df-rest 12718  df-topgen 12737  df-psmet 13823  df-xmet 13824  df-met 13825  df-bl 13826  df-mopn 13827  df-top 13901  df-topon 13914  df-bases 13946  df-ntr 13999  df-cn 14091  df-cnp 14092  df-tx 14156  df-cncf 14461  df-limced 14528  df-dvap 14529
This theorem is referenced by:  ioocosf1o  14678
  Copyright terms: Public domain W3C validator