Theorem cos0pilt1 15575

Description: Cosine is between minus one and one on the open interval between zero and pi. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos0pilt1	|- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Proof of Theorem cos0pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10146	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. RR )
2	1	recoscld 12284	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. RR )
3		cospi 15523	. . 3 |- ( cos ` pi ) = -u 1
4		ioossicc 10193	. . . . 5 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
5	4	sseli 3223	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. ( 0 [,] pi ) )
6		0xr 8225	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
7		pire 15509	. . . . . . 7 |- pi e. RR
8	7	rexri 8236	. . . . . 6 |- pi e. RR*
9		0re 8178	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
10		pipos 15511	. . . . . . 7 |- 0 < pi
11	9, 7, 10	ltleii 8281	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
12		ubicc2 10219	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> pi e. ( 0 [,] pi ) )
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1373	. . . . 5 |- pi e. ( 0 [,] pi )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. ( 0 [,] pi ) )
15		eliooord 10162	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < A /\ A < pi ) )
16	15	simprd 114	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A < pi )
17	5, 14, 16	cosordlem 15572	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` pi ) < ( cos ` A ) )
18	3, 17	eqbrtrrid 4124	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> -u 1 < ( cos ` A ) )
19		2re 9212	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
20	19, 7	remulcli 8192	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR
21	20	rexri 8236	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
22		1le2 9351	. . . . . 6 |- 1 <_ 2
23		lemulge12 9046	. . . . . 6 |- ( ( ( pi e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( 0 <_ pi /\ 1 <_ 2 ) ) -> pi <_ ( 2 x. pi ) )
24	7, 19, 11, 22, 23	mp4an 427	. . . . 5 |- pi <_ ( 2 x. pi )
25		iooss2 10151	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR* /\ pi <_ ( 2 x. pi ) ) -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
26	21, 24, 25	mp2an 426	. . . 4 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 (,) ( 2 x. pi ) )
27	26	sseli 3223	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
28		cos02pilt1 15574	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
29	27, 28	syl 14	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) < 1 )
30		neg1rr 9248	. . . 4 |- -u 1 e. RR
31	30	rexri 8236	. . 3 |- -u 1 e. RR*
32		1re 8177	. . . 4 |- 1 e. RR
33	32	rexri 8236	. . 3 |- 1 e. RR*
34		elioo2 10155	. . 3 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos ` A ) e. RR /\ -u 1 < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < 1 ) ) )
35	31, 33, 34	mp2an 426	. 2 |- ( ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos ` A ) e. RR /\ -u 1 < ( cos ` A ) /\ ( cos ` A ) < 1 ) )
36	2, 18, 29, 35	syl3anbrc 1207	1 |- ( A e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` A ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   x. cmul 8036   RR*cxr 8212   < clt 8213   <_ cle 8214   -ucneg 8350   2c2 9193   (,)cioo 10122   [,]cicc 10125   cosccos 12205   picpi 12207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151  ax-pre-suploc 8152  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-of 6234  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-map 6818  df-pm 6819  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-ioo 10126  df-ioc 10127  df-ico 10128  df-icc 10129  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-bc 11009  df-ihash 11037  df-shft 11375  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208  df-sin 12210  df-cos 12211  df-pi 12213  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-ntr 14819  df-cn 14911  df-cnp 14912  df-tx 14976  df-cncf 15294  df-limced 15379  df-dvap 15380

This theorem is referenced by:  ioocosf1o  15577