ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioossico Unicode version

Theorem ioossico 9380
Description: An open interval is a subset of its closure-below. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioossico  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,) B )

Proof of Theorem ioossico
Dummy variables  a  b  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 9310 . 2  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) } )
2 df-ico 9312 . 2  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { x  e.  RR*  |  ( a  <_  x  /\  x  <  b ) } )
3 xrltle 9268 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
4 idd 21 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <  B ) )
51, 2, 3, 4ixxssixx 9320 1  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    e. wcel 1438    C_ wss 2999   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RR*cxr 7521    < clt 7522    <_ cle 7523   (,)cioo 9306   [,)cico 9308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-lttrn 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-ioo 9310  df-ico 9312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator