Theorem ioossico 9872

Description: An open interval is a subset of its closure-below. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ioossico	|- ( A (,) B ) C_ ( A [,) B )

Proof of Theorem ioossico

Dummy variables a b w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 9802	. 2 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { x e. RR* | ( a < x /\ x < b ) } )
2		df-ico 9804	. 2 |- [,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { x e. RR* | ( a <_ x /\ x < b ) } )
3		xrltle 9711	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( A < w -> A <_ w ) )
4		idd 21	. 2 |- ( ( w e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( w < B -> w < B ) )
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 9812	1 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,) B )

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 2128   C_ wss 3102   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   RR*cxr 7913   < clt 7914   <_ cle 7915   (,)cioo 9798   [,)cico 9800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-lttrn 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-ioo 9802  df-ico 9804

This theorem is referenced by: (None)