Theorem xrltle 9687

Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrltle	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem xrltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnsym 9682	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		xrlenlt 7925	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 168	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   RR*cxr 7894   < clt 7895   <_ cle 7896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-lttrn 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4589  df-cnv 4591  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901

This theorem is referenced by:  xrltled  9688  ioossicc  9845  icossicc  9846  iocssicc  9847  ioossico  9848  ico0  10143  ioc0  10144  bdxmet  12861  metcnpi3  12877