Theorem issgrpv 13236

Description: The predicate "is a semigroup" for a structure which is a set. (Contributed by AV, 1-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
issgrpv	|- ( M e. V -> ( M e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y, z   x, M, y, z   x, .o. , y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem issgrpv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issgrpn0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
2		issgrpn0.o	. . . 4 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	ismgm 13189	. . 3 |- ( M e. V -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	anbi1d 465	. 2 |- ( M e. V -> ( ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )
5	1, 2	issgrp 13235	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
6		r19.26-2 2635	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( M e. V -> ( M e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  Mgmcmgm 13186  Smgrpcsgrp 13233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mgm 13188  df-sgrp 13234

This theorem is referenced by:  issgrpd  13244  sgrppropd  13245  ismnd  13251  dfgrp2e  13360