Theorem dfgrp2e 13100

Description: Alternate definition of a group as a set with a closed, associative operation, a left identity and a left inverse for each element. Alternate definition in [Lang] p. 7. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (Revised by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp2.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp2.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp2e	|- ( G e. Grp <-> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, n, x   i, G, n, x   .+ , i, n, x   y, B, z, x   y, G, z   y, .+ , z

Proof of Theorem dfgrp2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfgrp2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		dfgrp2.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	dfgrp2 13099	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )
4		rexm 3546	. . . 4 |- ( E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> E. n n e. B )
5	1	basmex 12677	. . . . 5 |- ( n e. B -> G e. _V )
6	5	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. n n e. B -> G e. _V )
7	1, 2	issgrpv 12987	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
8	4, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) ) )
9	8	pm5.32ri 455	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )
10	3, 9	bitri 184	1 |- ( G e. Grp <-> ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .+ y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695  Smgrpcsgrp 12984   Grpcgrp 13072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075

This theorem is referenced by: (None)