Theorem issgrpn0 13487

Description: The predicate "is a semigroup" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 1-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
issgrpn0	|- ( A e. B -> ( M e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y, z   x, M, y, z   x, .o. , y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem issgrpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issgrpn0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
2		issgrpn0.o	. . . 4 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	ismgmn0 13440	. . 3 |- ( A e. B -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	anbi1d 465	. 2 |- ( A e. B -> ( ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )
5	1, 2	issgrp 13485	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
6		r19.26-2 2662	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( A e. B -> ( M e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Mgmcmgm 13436  Smgrpcsgrp 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mgm 13438  df-sgrp 13484

This theorem is referenced by:  dfgrp3me  13682