Theorem issgrpn0 12991

Description: The predicate "is a semigroup" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 1-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
issgrpn0	|- ( A e. B -> ( M e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y, z   x, M, y, z   x, .o. , y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem issgrpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issgrpn0.b	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
2		issgrpn0.o	. . . 4 |- .o. = ( +g ` M )
3	1, 2	ismgmn0 12944	. . 3 |- ( A e. B -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	anbi1d 465	. 2 |- ( A e. B -> ( ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )
5	1, 2	issgrp 12989	. 2 |- ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
6		r19.26-2 2623	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 223	1 |- ( A e. B -> ( M e. Smgrp <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .o. y ) e. B /\ A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698  Mgmcmgm 12940  Smgrpcsgrp 12987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mgm 12942  df-sgrp 12988

This theorem is referenced by:  dfgrp3me  13175