Theorem isstructr 11974

Description: The property of being a structure with components in M ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isstructr	|- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. V /\ dom F C_ ( M ... N ) ) ) -> F Struct <. M , N >. )

Proof of Theorem isstructr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brinxp2 4606	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
2		df-br 3930	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
3	1, 2	sylbb1 136	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
4	3	adantr 274	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. V /\ dom F C_ ( M ... N ) ) ) -> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
5		simpr1 987	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. V /\ dom F C_ ( M ... N ) ) ) -> Fun ( F \ { (/) } ) )
6		simpr2 988	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. V /\ dom F C_ ( M ... N ) ) ) -> F e. V )
7		df-ov 5777	. . . . . 6 |- ( M ... N ) = ( ... ` <. M , N >. )
8	7	sseq2i 3124	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( M ... N ) <-> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
9	8	biimpi 119	. . . 4 |- ( dom F C_ ( M ... N ) -> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
10	9	3ad2ant3 1004	. . 3 |- ( ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. V /\ dom F C_ ( M ... N ) ) -> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
11	10	adantl 275	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. V /\ dom F C_ ( M ... N ) ) ) -> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
12		isstruct2r 11970	. 2 |- ( ( ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) ) /\ ( F e. V /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) ) -> F Struct <. M , N >. )
13	4, 5, 6, 11, 12	syl22anc 1217	1 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. V /\ dom F C_ ( M ... N ) ) ) -> F Struct <. M , N >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   \ cdif 3068   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   <.cop 3530   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   dom cdm 4539   Fun wfun 5117   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   <_ cle 7801   NNcn 8720   ...cfz 9790   Struct cstr 11955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-struct 11961

This theorem is referenced by:  strleund  12047  strleun  12048  strle1g  12049