Theorem structfn 12169

Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
structfn.1	|- F Struct <. M , N >.

Assertion

Ref	Expression
structfn	|- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem structfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structfn.1	. . 3 |- F Struct <. M , N >.
2	1	structfun 12168	. 2 |- Fun `' `' F
3		isstructim 12164	. . . . 5 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) )
5	4	simp3i 993	. . 3 |- dom F C_ ( M ... N )
6	4	simp1i 991	. . . . . 6 |- ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N )
7	6	simp1i 991	. . . . 5 |- M e. NN
8		elnnuz 9458	. . . . 5 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	7, 8	mpbi 144	. . . 4 |- M e. ( ZZ>= ` 1 )
10		fzss1 9947	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( M ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( M ... N ) C_ ( 1 ... N )
12	5, 11	sstri 3137	. 2 |- dom F C_ ( 1 ... N )
13	2, 12	pm3.2i 270	1 |- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   /\ w3a 963   e. wcel 2128   \ cdif 3099   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3965   `'ccnv 4582   dom cdm 4583   Fun wfun 5161   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   1c1 7716   <_ cle 7896   NNcn 8816   ZZ>=cuz 9422   ...cfz 9894   Struct cstr 12146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-struct 12152

This theorem is referenced by: (None)