Theorem structfn 13124

Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
structfn.1	|- F Struct <. M , N >.

Assertion

Ref	Expression
structfn	|- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem structfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structfn.1	. . 3 |- F Struct <. M , N >.
2	1	structfun 13123	. 2 |- Fun `' `' F
3		isstructim 13119	. . . . 5 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) )
5	4	simp3i 1034	. . 3 |- dom F C_ ( M ... N )
6	4	simp1i 1032	. . . . . 6 |- ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N )
7	6	simp1i 1032	. . . . 5 |- M e. NN
8		elnnuz 9798	. . . . 5 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	7, 8	mpbi 145	. . . 4 |- M e. ( ZZ>= ` 1 )
10		fzss1 10303	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( M ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( M ... N ) C_ ( 1 ... N )
12	5, 11	sstri 3235	. 2 |- dom F C_ ( 1 ... N )
13	2, 12	pm3.2i 272	1 |- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 1004   e. wcel 2201   \ cdif 3196   C_ wss 3199   (/)c0 3493   {csn 3670   <.cop 3673   class class class wbr 4089   `'ccnv 4726   dom cdm 4727   Fun wfun 5322   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   1c1 8038   <_ cle 8220   NNcn 9148   ZZ>=cuz 9760   ...cfz 10248   Struct cstr 13101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107

This theorem is referenced by: (None)