ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  structfn Unicode version

Theorem structfn 12461
Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
structfn.1  |-  F Struct  <. M ,  N >.
Assertion
Ref Expression
structfn  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem structfn
StepHypRef Expression
1 structfn.1 . . 3  |-  F Struct  <. M ,  N >.
21structfun 12460 . 2  |-  Fun  `' `' F
3 isstructim 12456 . . . . 5  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  -> 
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( M ... N
) ) )
41, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( M ... N
) )
54simp3i 1008 . . 3  |-  dom  F  C_  ( M ... N
)
64simp1i 1006 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )
76simp1i 1006 . . . . 5  |-  M  e.  NN
8 elnnuz 9550 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
97, 8mpbi 145 . . . 4  |-  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
10 fzss1 10046 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( M ... N )  C_  (
1 ... N ) )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  ( M ... N )  C_  ( 1 ... N
)
125, 11sstri 3164 . 2  |-  dom  F  C_  ( 1 ... N
)
132, 12pm3.2i 272 1  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    /\ w3a 978    e. wcel 2148    \ cdif 3126    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   <.cop 3594   class class class wbr 4000   `'ccnv 4622   dom cdm 4623   Fun wfun 5206   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1c1 7800    <_ cle 7980   NNcn 8905   ZZ>=cuz 9514   ...cfz 9992   Struct cstr 12438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-z 9240  df-uz 9515  df-fz 9993  df-struct 12444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator