Theorem structfn 12483

Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
structfn.1	|- F Struct <. M , N >.

Assertion

Ref	Expression
structfn	|- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem structfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structfn.1	. . 3 |- F Struct <. M , N >.
2	1	structfun 12482	. 2 |- Fun `' `' F
3		isstructim 12478	. . . . 5 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) )
5	4	simp3i 1008	. . 3 |- dom F C_ ( M ... N )
6	4	simp1i 1006	. . . . . 6 |- ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N )
7	6	simp1i 1006	. . . . 5 |- M e. NN
8		elnnuz 9566	. . . . 5 |- ( M e. NN <-> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9	7, 8	mpbi 145	. . . 4 |- M e. ( ZZ>= ` 1 )
10		fzss1 10065	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( M ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( M ... N ) C_ ( 1 ... N )
12	5, 11	sstri 3166	. 2 |- dom F C_ ( 1 ... N )
13	2, 12	pm3.2i 272	1 |- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   /\ w3a 978   e. wcel 2148   \ cdif 3128   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   class class class wbr 4005   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   Fun wfun 5212   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1c1 7814   <_ cle 7995   NNcn 8921   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010   Struct cstr 12460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466

This theorem is referenced by: (None)