Theorem strsetsid 12654

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strsetsid.e	|- E = Slot ( E ` ndx )
strsetsid.s	|- ( ph -> S Struct <. M , N >. )
strsetsid.f	|- ( ph -> Fun S )
strsetsid.d	|- ( ph -> ( E ` ndx ) e. dom S )

Assertion

Ref	Expression
strsetsid	|- ( ph -> S = ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) )

Proof of Theorem strsetsid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strsetsid.s	. . . 4 |- ( ph -> S Struct <. M , N >. )
2		structex 12633	. . . 4 |- ( S Struct <. M , N >. -> S e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> S e. _V )
4		strsetsid.d	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ndx ) e. dom S )
5		strsetsid.e	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
6		isstructim 12635	. . . . . . . . 9 |- ( S Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( S \ { (/) } ) /\ dom S C_ ( M ... N ) ) )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( S \ { (/) } ) /\ dom S C_ ( M ... N ) ) )
8	7	simp3d 1013	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom S C_ ( M ... N ) )
9	7	simp1d 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
10	9	simp1d 1011	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
11		fzssnn 10137	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( M ... N ) C_ NN )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ NN )
13	8, 12	sstrd 3190	. . . . . 6 |- ( ph -> dom S C_ NN )
14	13, 4	sseldd 3181	. . . . 5 |- ( ph -> ( E ` ndx ) e. NN )
15	5, 3, 14	strnfvnd 12641	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` S ) = ( S ` ( E ` ndx ) ) )
16		strsetsid.f	. . . . 5 |- ( ph -> Fun S )
17		funfvex 5572	. . . . 5 |- ( ( Fun S /\ ( E ` ndx ) e. dom S ) -> ( S ` ( E ` ndx ) ) e. _V )
18	16, 4, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` ( E ` ndx ) ) e. _V )
19	15, 18	eqeltrd 2270	. . 3 |- ( ph -> ( E ` S ) e. _V )
20		setsvala 12652	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ ( E ` ndx ) e. dom S /\ ( E ` S ) e. _V ) -> ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) = ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } ) )
21	3, 4, 19, 20	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) = ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } ) )
22	15	opeq2d 3812	. . . 4 |- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. = <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. )
23	22	sneqd 3632	. . 3 |- ( ph -> { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } = { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } )
24	23	uneq2d 3314	. 2 |- ( ph -> ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } ) )
25		nnssz 9337	. . . . 5 |- NN C_ ZZ
26	13, 25	sstrdi 3192	. . . 4 |- ( ph -> dom S C_ ZZ )
27		zdceq 9395	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID x = y )
28	27	rgen2a 2548	. . . 4 |- A. x e. ZZ A. y e. ZZ DECID x = y
29		ssralv 3244	. . . . . 6 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. y e. ZZ DECID x = y -> A. y e. dom SDECID x = y ) )
30	29	ralimdv 2562	. . . . 5 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. x e. ZZ A. y e. ZZ DECID x = y -> A. x e. ZZ A. y e. dom SDECID x = y ) )
31		ssralv 3244	. . . . 5 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. x e. ZZ A. y e. dom SDECID x = y -> A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y ) )
32	30, 31	syld 45	. . . 4 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. x e. ZZ A. y e. ZZ DECID x = y -> A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y ) )
33	26, 28, 32	mpisyl 1457	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y )
34		funresdfunsndc 6561	. . 3 |- ( ( A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y /\ Fun S /\ ( E ` ndx ) e. dom S ) -> ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } ) = S )
35	33, 16, 4, 34	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } ) = S )
36	21, 24, 35	3eqtrrd 2231	1 |- ( ph -> S = ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   \ cdif 3151   u. cun 3152   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   <.cop 3622   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   |` cres 4662   Fun wfun 5249   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   <_ cle 8057   NNcn 8984   ZZcz 9320   ...cfz 10077   Struct cstr 12617   ndxcnx 12618   sSet csts 12619  Slot cslot 12620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-struct 12623  df-slot 12625  df-sets 12628

This theorem is referenced by:  strressid  12692