ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strsetsid Unicode version

Theorem strsetsid 12029
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strsetsid.e  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
strsetsid.s  |-  ( ph  ->  S Struct  <. M ,  N >. )
strsetsid.f  |-  ( ph  ->  Fun  S )
strsetsid.d  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  dom  S )
Assertion
Ref Expression
strsetsid  |-  ( ph  ->  S  =  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. )
)

Proof of Theorem strsetsid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strsetsid.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S Struct  <. M ,  N >. )
2 structex 12008 . . . 4  |-  ( S Struct  <. M ,  N >.  ->  S  e.  _V )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
4 strsetsid.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  dom  S )
5 strsetsid.e . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
6 isstructim 12010 . . . . . . . . 9  |-  ( S Struct  <. M ,  N >.  -> 
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( S  \  { (/) } )  /\  dom  S  C_  ( M ... N
) ) )
71, 6syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( S  \  { (/) } )  /\  dom  S  C_  ( M ... N
) ) )
87simp3d 996 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  C_  ( M ... N ) )
97simp1d 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N ) )
109simp1d 994 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
11 fzssnn 9878 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ... N )  C_  NN )
1210, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  NN )
138, 12sstrd 3111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  C_  NN )
1413, 4sseldd 3102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  NN )
155, 3, 14strnfvnd 12016 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( S `
 ( E `  ndx ) ) )
16 strsetsid.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  S )
17 funfvex 5445 . . . . 5  |-  ( ( Fun  S  /\  ( E `  ndx )  e. 
dom  S )  -> 
( S `  ( E `  ndx ) )  e.  _V )
1816, 4, 17syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( E `  ndx ) )  e.  _V )
1915, 18eqeltrd 2217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  e.  _V )
20 setsvala 12027 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  ( E `  ndx )  e.  dom  S  /\  ( E `  S )  e.  _V )  ->  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >.
)  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S
) >. } ) )
213, 4, 19, 20syl3anc 1217 . 2  |-  ( ph  ->  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S
) >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `
 ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. } ) )
2215opeq2d 3719 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >.  =  <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx )
) >. )
2322sneqd 3544 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >. }  =  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) )
>. } )
2423uneq2d 3234 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u. 
{ <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `
 ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) ) >. } ) )
25 nnssz 9094 . . . . 5  |-  NN  C_  ZZ
2613, 25sstrdi 3113 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  C_  ZZ )
27 zdceq 9149 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> DECID  x  =  y )
2827rgen2a 2489 . . . 4  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y
29 ssralv 3165 . . . . . 6  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y  ->  A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
3029ralimdv 2503 . . . . 5  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
31 ssralv 3165 . . . . 5  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y  ->  A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
3230, 31syld 45 . . . 4  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
3326, 28, 32mpisyl 1423 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y )
34 funresdfunsndc 6409 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y  /\  Fun  S  /\  ( E `  ndx )  e.  dom  S )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) )
>. } )  =  S )
3533, 16, 4, 34syl3anc 1217 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u. 
{ <. ( E `  ndx ) ,  ( S `
 ( E `  ndx ) ) >. } )  =  S )
3621, 24, 353eqtrrd 2178 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 820    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689    \ cdif 3072    u. cun 3073    C_ wss 3075   (/)c0 3367   {csn 3531   <.cop 3534   class class class wbr 3936   dom cdm 4546    |` cres 4548   Fun wfun 5124   ` cfv 5130  (class class class)co 5781    <_ cle 7824   NNcn 8743   ZZcz 9077   ...cfz 9820   Struct cstr 11992   ndxcnx 11993   sSet csts 11994  Slot cslot 11995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-struct 11998  df-slot 12000  df-sets 12003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator