Theorem strsetsid 12950

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strsetsid.e	|- E = Slot ( E ` ndx )
strsetsid.s	|- ( ph -> S Struct <. M , N >. )
strsetsid.f	|- ( ph -> Fun S )
strsetsid.d	|- ( ph -> ( E ` ndx ) e. dom S )

Assertion

Ref	Expression
strsetsid	|- ( ph -> S = ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) )

Proof of Theorem strsetsid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strsetsid.s	. . . 4 |- ( ph -> S Struct <. M , N >. )
2		structex 12929	. . . 4 |- ( S Struct <. M , N >. -> S e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> S e. _V )
4		strsetsid.d	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ndx ) e. dom S )
5		strsetsid.e	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
6		isstructim 12931	. . . . . . . . 9 |- ( S Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( S \ { (/) } ) /\ dom S C_ ( M ... N ) ) )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( S \ { (/) } ) /\ dom S C_ ( M ... N ) ) )
8	7	simp3d 1014	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom S C_ ( M ... N ) )
9	7	simp1d 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
10	9	simp1d 1012	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
11		fzssnn 10220	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( M ... N ) C_ NN )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... N ) C_ NN )
13	8, 12	sstrd 3207	. . . . . 6 |- ( ph -> dom S C_ NN )
14	13, 4	sseldd 3198	. . . . 5 |- ( ph -> ( E ` ndx ) e. NN )
15	5, 3, 14	strnfvnd 12937	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` S ) = ( S ` ( E ` ndx ) ) )
16		strsetsid.f	. . . . 5 |- ( ph -> Fun S )
17		funfvex 5611	. . . . 5 |- ( ( Fun S /\ ( E ` ndx ) e. dom S ) -> ( S ` ( E ` ndx ) ) e. _V )
18	16, 4, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` ( E ` ndx ) ) e. _V )
19	15, 18	eqeltrd 2283	. . 3 |- ( ph -> ( E ` S ) e. _V )
20		setsvala 12948	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ ( E ` ndx ) e. dom S /\ ( E ` S ) e. _V ) -> ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) = ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } ) )
21	3, 4, 19, 20	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) = ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } ) )
22	15	opeq2d 3835	. . . 4 |- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. = <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. )
23	22	sneqd 3651	. . 3 |- ( ph -> { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } = { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } )
24	23	uneq2d 3331	. 2 |- ( ph -> ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } ) )
25		nnssz 9419	. . . . 5 |- NN C_ ZZ
26	13, 25	sstrdi 3209	. . . 4 |- ( ph -> dom S C_ ZZ )
27		zdceq 9478	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> DECID x = y )
28	27	rgen2a 2561	. . . 4 |- A. x e. ZZ A. y e. ZZ DECID x = y
29		ssralv 3261	. . . . . 6 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. y e. ZZ DECID x = y -> A. y e. dom SDECID x = y ) )
30	29	ralimdv 2575	. . . . 5 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. x e. ZZ A. y e. ZZ DECID x = y -> A. x e. ZZ A. y e. dom SDECID x = y ) )
31		ssralv 3261	. . . . 5 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. x e. ZZ A. y e. dom SDECID x = y -> A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y ) )
32	30, 31	syld 45	. . . 4 |- ( dom S C_ ZZ -> ( A. x e. ZZ A. y e. ZZ DECID x = y -> A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y ) )
33	26, 28, 32	mpisyl 1467	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y )
34		funresdfunsndc 6610	. . 3 |- ( ( A. x e. dom S A. y e. dom SDECID x = y /\ Fun S /\ ( E ` ndx ) e. dom S ) -> ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } ) = S )
35	33, 16, 4, 34	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( S |` ( _V \ { ( E ` ndx ) } ) ) u. { <. ( E ` ndx ) , ( S ` ( E ` ndx ) ) >. } ) = S )
36	21, 24, 35	3eqtrrd 2244	1 |- ( ph -> S = ( S sSet <. ( E ` ndx ) , ( E ` S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   u. cun 3168   C_ wss 3170   (/)c0 3464   {csn 3638   <.cop 3641   class class class wbr 4054   dom cdm 4688   |` cres 4690   Fun wfun 5279   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   <_ cle 8138   NNcn 9066   ZZcz 9402   ...cfz 10160   Struct cstr 12913   ndxcnx 12914   sSet csts 12915  Slot cslot 12916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-struct 12919  df-slot 12921  df-sets 12924

This theorem is referenced by:  strressid  12988