ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strsetsid Unicode version

Theorem strsetsid 12497
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strsetsid.e  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
strsetsid.s  |-  ( ph  ->  S Struct  <. M ,  N >. )
strsetsid.f  |-  ( ph  ->  Fun  S )
strsetsid.d  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  dom  S )
Assertion
Ref Expression
strsetsid  |-  ( ph  ->  S  =  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. )
)

Proof of Theorem strsetsid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strsetsid.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S Struct  <. M ,  N >. )
2 structex 12476 . . . 4  |-  ( S Struct  <. M ,  N >.  ->  S  e.  _V )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
4 strsetsid.d . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  dom  S )
5 strsetsid.e . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
6 isstructim 12478 . . . . . . . . 9  |-  ( S Struct  <. M ,  N >.  -> 
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( S  \  { (/) } )  /\  dom  S  C_  ( M ... N
) ) )
71, 6syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( S  \  { (/) } )  /\  dom  S  C_  ( M ... N
) ) )
87simp3d 1011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  S  C_  ( M ... N ) )
97simp1d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N ) )
109simp1d 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
11 fzssnn 10070 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ... N )  C_  NN )
1210, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  NN )
138, 12sstrd 3167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  C_  NN )
1413, 4sseldd 3158 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E `  ndx )  e.  NN )
155, 3, 14strnfvnd 12484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( S `
 ( E `  ndx ) ) )
16 strsetsid.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  S )
17 funfvex 5534 . . . . 5  |-  ( ( Fun  S  /\  ( E `  ndx )  e. 
dom  S )  -> 
( S `  ( E `  ndx ) )  e.  _V )
1816, 4, 17syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( E `  ndx ) )  e.  _V )
1915, 18eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  e.  _V )
20 setsvala 12495 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  ( E `  ndx )  e.  dom  S  /\  ( E `  S )  e.  _V )  ->  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >.
)  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S
) >. } ) )
213, 4, 19, 20syl3anc 1238 . 2  |-  ( ph  ->  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S
) >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `
 ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. } ) )
2215opeq2d 3787 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >.  =  <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx )
) >. )
2322sneqd 3607 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >. }  =  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) )
>. } )
2423uneq2d 3291 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u. 
{ <. ( E `  ndx ) ,  ( E `
 S ) >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `
 ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) ) >. } ) )
25 nnssz 9272 . . . . 5  |-  NN  C_  ZZ
2613, 25sstrdi 3169 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  C_  ZZ )
27 zdceq 9330 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> DECID  x  =  y )
2827rgen2a 2531 . . . 4  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y
29 ssralv 3221 . . . . . 6  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y  ->  A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
3029ralimdv 2545 . . . . 5  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
31 ssralv 3221 . . . . 5  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y  ->  A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
3230, 31syld 45 . . . 4  |-  ( dom 
S  C_  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y ) )
3326, 28, 32mpisyl 1446 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y )
34 funresdfunsndc 6509 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  dom  S A. y  e.  dom  SDECID  x  =  y  /\  Fun  S  /\  ( E `  ndx )  e.  dom  S )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u.  { <. ( E `  ndx ) ,  ( S `  ( E `  ndx ) )
>. } )  =  S )
3533, 16, 4, 34syl3anc 1238 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { ( E `  ndx ) } ) )  u. 
{ <. ( E `  ndx ) ,  ( S `
 ( E `  ndx ) ) >. } )  =  S )
3621, 24, 353eqtrrd 2215 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( S sSet  <. ( E `  ndx ) ,  ( E `  S ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739    \ cdif 3128    u. cun 3129    C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   class class class wbr 4005   dom cdm 4628    |` cres 4630   Fun wfun 5212   ` cfv 5218  (class class class)co 5877    <_ cle 7995   NNcn 8921   ZZcz 9255   ...cfz 10010   Struct cstr 12460   ndxcnx 12461   sSet csts 12462  Slot cslot 12463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466  df-slot 12468  df-sets 12471
This theorem is referenced by:  strressid  12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator