Theorem strext 12566

Description: Extending the upper range of a structure. This works because when we say that a structure has components in A ... C we are not saying that every slot in that range is present, just that all the slots that are present are within that range. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strext.f	|- ( ph -> F Struct <. A , B >. )
strext.c	|- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
strext	|- ( ph -> F Struct <. A , C >. )

Proof of Theorem strext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strext.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Struct <. A , B >. )
2		isstructim 12478	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
4	3	simp1d 1009	. . 3 |- ( ph -> ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) )
5	4	simp1d 1009	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
6	4	simp2d 1010	. . 3 |- ( ph -> B e. NN )
7		strext.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
8		eluznn 9602	. . 3 |- ( ( B e. NN /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> C e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> C e. NN )
10	5	nnred 8934	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
11	6	nnred 8934	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
12	9	nnred 8934	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
13	4	simp3d 1011	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
14		eluzle 9542	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ C )
15	7, 14	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
16	10, 11, 12, 13, 15	letrd 8083	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
17	3	simp2d 1010	. 2 |- ( ph -> Fun ( F \ { (/) } ) )
18		structex 12476	. . 3 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
20	3	simp3d 1011	. . 3 |- ( ph -> dom F C_ ( A ... B ) )
21		fzss2 10066	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... C ) )
22	7, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A ... B ) C_ ( A ... C ) )
23	20, 22	sstrd 3167	. 2 |- ( ph -> dom F C_ ( A ... C ) )
24		isstructr 12479	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ C e. NN /\ A <_ C ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. _V /\ dom F C_ ( A ... C ) ) ) -> F Struct <. A , C >. )
25	5, 9, 16, 17, 19, 23, 24	syl33anc 1253	1 |- ( ph -> F Struct <. A , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   \ cdif 3128   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   class class class wbr 4005   dom cdm 4628   Fun wfun 5212   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   <_ cle 7995   NNcn 8921   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010   Struct cstr 12460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466

This theorem is referenced by:  cnfldstr  13542