Theorem strext 12579

Description: Extending the upper range of a structure. This works because when we say that a structure has components in A ... C we are not saying that every slot in that range is present, just that all the slots that are present are within that range. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strext.f	|- ( ph -> F Struct <. A , B >. )
strext.c	|- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
strext	|- ( ph -> F Struct <. A , C >. )

Proof of Theorem strext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strext.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Struct <. A , B >. )
2		isstructim 12490	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
4	3	simp1d 1010	. . 3 |- ( ph -> ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) )
5	4	simp1d 1010	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
6	4	simp2d 1011	. . 3 |- ( ph -> B e. NN )
7		strext.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
8		eluznn 9614	. . 3 |- ( ( B e. NN /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> C e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> C e. NN )
10	5	nnred 8946	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
11	6	nnred 8946	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
12	9	nnred 8946	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
13	4	simp3d 1012	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
14		eluzle 9554	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ C )
15	7, 14	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
16	10, 11, 12, 13, 15	letrd 8095	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
17	3	simp2d 1011	. 2 |- ( ph -> Fun ( F \ { (/) } ) )
18		structex 12488	. . 3 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
20	3	simp3d 1012	. . 3 |- ( ph -> dom F C_ ( A ... B ) )
21		fzss2 10078	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... C ) )
22	7, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A ... B ) C_ ( A ... C ) )
23	20, 22	sstrd 3177	. 2 |- ( ph -> dom F C_ ( A ... C ) )
24		isstructr 12491	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ C e. NN /\ A <_ C ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. _V /\ dom F C_ ( A ... C ) ) ) -> F Struct <. A , C >. )
25	5, 9, 16, 17, 19, 23, 24	syl33anc 1263	1 |- ( ph -> F Struct <. A , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 979   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   \ cdif 3138   C_ wss 3141   (/)c0 3434   {csn 3604   <.cop 3607   class class class wbr 4015   dom cdm 4638   Fun wfun 5222   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   <_ cle 8007   NNcn 8933   ZZ>=cuz 9542   ...cfz 10022   Struct cstr 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023  df-struct 12478

This theorem is referenced by:  cnfldstr  13739