Theorem strext 12783

Description: Extending the upper range of a structure. This works because when we say that a structure has components in A ... C we are not saying that every slot in that range is present, just that all the slots that are present are within that range. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strext.f	|- ( ph -> F Struct <. A , B >. )
strext.c	|- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
strext	|- ( ph -> F Struct <. A , C >. )

Proof of Theorem strext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strext.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Struct <. A , B >. )
2		isstructim 12692	. . . . 5 |- ( F Struct <. A , B >. -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( A ... B ) ) )
4	3	simp1d 1011	. . 3 |- ( ph -> ( A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B ) )
5	4	simp1d 1011	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
6	4	simp2d 1012	. . 3 |- ( ph -> B e. NN )
7		strext.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
8		eluznn 9674	. . 3 |- ( ( B e. NN /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> C e. NN )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> C e. NN )
10	5	nnred 9003	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
11	6	nnred 9003	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
12	9	nnred 9003	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
13	4	simp3d 1013	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
14		eluzle 9613	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> B <_ C )
15	7, 14	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
16	10, 11, 12, 13, 15	letrd 8150	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
17	3	simp2d 1012	. 2 |- ( ph -> Fun ( F \ { (/) } ) )
18		structex 12690	. . 3 |- ( F Struct <. A , B >. -> F e. _V )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
20	3	simp3d 1013	. . 3 |- ( ph -> dom F C_ ( A ... B ) )
21		fzss2 10139	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( A ... B ) C_ ( A ... C ) )
22	7, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A ... B ) C_ ( A ... C ) )
23	20, 22	sstrd 3193	. 2 |- ( ph -> dom F C_ ( A ... C ) )
24		isstructr 12693	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ C e. NN /\ A <_ C ) /\ ( Fun ( F \ { (/) } ) /\ F e. _V /\ dom F C_ ( A ... C ) ) ) -> F Struct <. A , C >. )
25	5, 9, 16, 17, 19, 23, 24	syl33anc 1264	1 |- ( ph -> F Struct <. A , C >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   <.cop 3625   class class class wbr 4033   dom cdm 4663   Fun wfun 5252   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   <_ cle 8062   NNcn 8990   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   Struct cstr 12674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680

This theorem is referenced by: (None)