Theorem ixpconstg 6763

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	elixpconst 6762	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3	2	abbi2i 2308	. . 3 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
4		mapvalg 6714	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑𝑚 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
5	3, 4	eqtr4id 2245	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴))
6	5	ancoms 268	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ⟶wf 5251  (class class class)co 5919   ↑_𝑚 cmap 6704  Xcixp 6754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-ixp 6755

This theorem is referenced by:  ixpconst  6764  mapsnf1o  6793