Theorem ixpconstg 6989

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpconstg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpconstg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
2	1	elixpconst 6988	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3	2	abbi2i 2353	. . 3 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
4		mapvalg 6932	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ↑𝑚 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
5	3, 4	eqtr4id 2290	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴))
6	5	ancoms 268	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ⟶wf 5373  (class class class)co 6085   ↑_𝑚 cmap 6922  Xcixp 6980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-ixp 6981

This theorem is used by:  ixpconst  6990  mapsnf1o  7019  pwsbas  14205