Theorem leadd2d 8213

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )

Assertion

Ref	Expression
leadd2d	|- ( ph -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )

Proof of Theorem leadd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		ltadd1d.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
4		leadd2 8105	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1197	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   RRcr 7539   + caddc 7543   <_ cle 7718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-i2m1 7643  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-pre-ltadd 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-iota 5044  df-fv 5087  df-ov 5729  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723

This theorem is referenced by:  leadd2dd  8233  div4p1lem1div2  8870  divalglemnqt  11458