ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leadd2d Unicode version

Theorem leadd2d 8321
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
leadd2d  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( C  +  A )  <_  ( C  +  B ) ) )

Proof of Theorem leadd2d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltadd1d.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 leadd2 8212 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( C  +  A )  <_  ( C  +  B )
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1216 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( C  +  A )  <_  ( C  +  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777   RRcr 7638    + caddc 7642    <_ cle 7820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-i2m1 7744  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-pre-ltadd 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-xp 4548  df-cnv 4550  df-iota 5091  df-fv 5134  df-ov 5780  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825
This theorem is referenced by:  leadd2dd  8341  div4p1lem1div2  8992  divalglemnqt  11640
  Copyright terms: Public domain W3C validator