Theorem lmod0vcl 14275

Description: The zero vector is a vector. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0vcl.v	|- V = ( Base ` W )
0vcl.z	|- .0. = ( 0g ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmod0vcl	|- ( W e. LMod -> .0. e. V )

Proof of Theorem lmod0vcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 14252	. 2 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
2		0vcl.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		0vcl.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
4	2, 3	grpidcl 13557	. 2 |- ( W e. Grp -> .0. e. V )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( W e. LMod -> .0. e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317   Basecbs 13027   0gc0g 13284   Grpcgrp 13528   LModclmod 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-lmod 14247

This theorem is referenced by:  lmodvs0  14280  lmodfopne  14284  lss1  14320  lsssn0  14328  lssintclm  14342  lspuni0  14382  lspun0  14383  lss0v  14388