Theorem ringgrp 13964

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2229	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2229	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 13963	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1036	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   Mndcmnd 13449   Grpcgrp 13533  mulGrpcmgp 13883   Ringcrg 13959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-ring 13961

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13968  ringmnd  13969  ring0cl  13984  ringacl  13993  ringcom  13994  ringabl  13995  ringlz  14006  ringrz  14007  ringnegl  14014  ringnegr  14015  ringmneg1  14016  ringmneg2  14017  ringm2neg  14018  ringsubdi  14019  ringsubdir  14020  mulgass2  14021  ringlghm  14024  ringrghm  14025  ringressid  14026  imasring  14027  opprring  14042  dvdsrneg  14067  unitnegcl  14094  dvrdir  14107  dfrhm2  14118  isrhm  14122  isrhmd  14130  rhmfn  14136  rhmval  14137  subrgsubg  14191  lmodfgrp  14260  lmod0vs  14285  lmodvsneg  14295  lmodsubvs  14307  lmodsubdi  14308  lmodsubdir  14309  rmodislmodlem  14314  rmodislmod  14315  issubrgd  14416  lidlsubg  14450  cnfld0  14535  cnfldneg  14537  cnfldsub  14539  cnsubglem  14543  zringgrp  14559  mulgrhm  14573  zrhmulg  14584