Theorem ringgrp 14411

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 14410	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1043	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13409   +g cplusg 13489   .rcmulr 13490   Mndcmnd 13787   Grpcgrp 13863  mulGrpcmgp 14323   Ringcrg 14406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-ring 14408

This theorem is used by:  ringgrpd  14415  ringmnd  14416  ring0cl  14432  ringacl  14441  ringcom  14442  ringabl  14443  ringlz  14454  ringrz  14455  ringnegl  14462  ringnegr  14463  ringmneg1  14464  ringmneg2  14465  ringm2neg  14466  ringsubdi  14467  ringsubdir  14468  mulgass2  14469  ringlghm  14472  ringrghm  14473  ringressid  14476  imasring  14477  opprring  14492  dvdsrneg  14518  unitnegcl  14545  dvrdir  14558  dfrhm2  14569  isrhm  14573  isrhmd  14581  rhmfn  14587  rhmval  14588  subrgsubg  14643  lmodfgrp  14740  lmod0vs  14766  lmodvsneg  14776  lmodsubvs  14788  lmodsubdi  14789  lmodsubdir  14790  rmodislmodlem  14795  rmodislmod  14796  issubrgd  14897  lidlsubg  14931  cnfld0  15016  cnfldneg  15018  cnfldsub  15020  cnsubglem  15024  zringgrp  15038  mulgrhm  15052  zrhmulg  15063