Theorem ringgrp 13979

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2229	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2229	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 13978	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1036	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   .rcmulr 13126   Mndcmnd 13464   Grpcgrp 13548  mulGrpcmgp 13898   Ringcrg 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-ring 13976

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13983  ringmnd  13984  ring0cl  13999  ringacl  14008  ringcom  14009  ringabl  14010  ringlz  14021  ringrz  14022  ringnegl  14029  ringnegr  14030  ringmneg1  14031  ringmneg2  14032  ringm2neg  14033  ringsubdi  14034  ringsubdir  14035  mulgass2  14036  ringlghm  14039  ringrghm  14040  ringressid  14041  imasring  14042  opprring  14057  dvdsrneg  14082  unitnegcl  14109  dvrdir  14122  dfrhm2  14133  isrhm  14137  isrhmd  14145  rhmfn  14151  rhmval  14152  subrgsubg  14206  lmodfgrp  14275  lmod0vs  14300  lmodvsneg  14310  lmodsubvs  14322  lmodsubdi  14323  lmodsubdir  14324  rmodislmodlem  14329  rmodislmod  14330  issubrgd  14431  lidlsubg  14465  cnfld0  14550  cnfldneg  14552  cnfldsub  14554  cnsubglem  14558  zringgrp  14574  mulgrhm  14588  zrhmulg  14599