Theorem ringgrp 14354

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 14353	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1043	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   +g cplusg 13480   .rcmulr 13481   Mndcmnd 13778   Grpcgrp 13854  mulGrpcmgp 14266   Ringcrg 14349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-ring 14351

This theorem is used by:  ringgrpd  14358  ringmnd  14359  ring0cl  14375  ringacl  14384  ringcom  14385  ringabl  14386  ringlz  14397  ringrz  14398  ringnegl  14405  ringnegr  14406  ringmneg1  14407  ringmneg2  14408  ringm2neg  14409  ringsubdi  14410  ringsubdir  14411  mulgass2  14412  ringlghm  14415  ringrghm  14416  ringressid  14417  imasring  14418  opprring  14433  dvdsrneg  14459  unitnegcl  14486  dvrdir  14499  dfrhm2  14510  isrhm  14514  isrhmd  14522  rhmfn  14528  rhmval  14529  subrgsubg  14584  lmodfgrp  14681  lmod0vs  14707  lmodvsneg  14717  lmodsubvs  14729  lmodsubdi  14730  lmodsubdir  14731  rmodislmodlem  14736  rmodislmod  14737  issubrgd  14838  lidlsubg  14872  cnfld0  14957  cnfldneg  14959  cnfldsub  14961  cnsubglem  14965  zringgrp  14979  mulgrhm  14993  zrhmulg  15004