Theorem ringgrp 14033

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2231	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 14032	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1038	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179   Mndcmnd 13517   Grpcgrp 13601  mulGrpcmgp 13952   Ringcrg 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-ring 14030

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14037  ringmnd  14038  ring0cl  14053  ringacl  14062  ringcom  14063  ringabl  14064  ringlz  14075  ringrz  14076  ringnegl  14083  ringnegr  14084  ringmneg1  14085  ringmneg2  14086  ringm2neg  14087  ringsubdi  14088  ringsubdir  14089  mulgass2  14090  ringlghm  14093  ringrghm  14094  ringressid  14095  imasring  14096  opprring  14111  dvdsrneg  14136  unitnegcl  14163  dvrdir  14176  dfrhm2  14187  isrhm  14191  isrhmd  14199  rhmfn  14205  rhmval  14206  subrgsubg  14260  lmodfgrp  14329  lmod0vs  14354  lmodvsneg  14364  lmodsubvs  14376  lmodsubdi  14377  lmodsubdir  14378  rmodislmodlem  14383  rmodislmod  14384  issubrgd  14485  lidlsubg  14519  cnfld0  14604  cnfldneg  14606  cnfldsub  14608  cnsubglem  14612  zringgrp  14628  mulgrhm  14642  zrhmulg  14653