Theorem ringgrp 14078

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2231	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 14077	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1039	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224   Mndcmnd 13562   Grpcgrp 13646  mulGrpcmgp 13997   Ringcrg 14073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-ring 14075

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14082  ringmnd  14083  ring0cl  14098  ringacl  14107  ringcom  14108  ringabl  14109  ringlz  14120  ringrz  14121  ringnegl  14128  ringnegr  14129  ringmneg1  14130  ringmneg2  14131  ringm2neg  14132  ringsubdi  14133  ringsubdir  14134  mulgass2  14135  ringlghm  14138  ringrghm  14139  ringressid  14140  imasring  14141  opprring  14156  dvdsrneg  14181  unitnegcl  14208  dvrdir  14221  dfrhm2  14232  isrhm  14236  isrhmd  14244  rhmfn  14250  rhmval  14251  subrgsubg  14305  lmodfgrp  14375  lmod0vs  14400  lmodvsneg  14410  lmodsubvs  14422  lmodsubdi  14423  lmodsubdir  14424  rmodislmodlem  14429  rmodislmod  14430  issubrgd  14531  lidlsubg  14565  cnfld0  14650  cnfldneg  14652  cnfldsub  14654  cnsubglem  14658  zringgrp  14674  mulgrhm  14688  zrhmulg  14699