Theorem ringgrp 13878

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2207	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2207	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2207	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 13877	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1015	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   .rcmulr 13025   Mndcmnd 13363   Grpcgrp 13447  mulGrpcmgp 13797   Ringcrg 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-ring 13875

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13882  ringmnd  13883  ring0cl  13898  ringacl  13907  ringcom  13908  ringabl  13909  ringlz  13920  ringrz  13921  ringnegl  13928  ringnegr  13929  ringmneg1  13930  ringmneg2  13931  ringm2neg  13932  ringsubdi  13933  ringsubdir  13934  mulgass2  13935  ringlghm  13938  ringrghm  13939  ringressid  13940  imasring  13941  opprring  13956  dvdsrneg  13980  unitnegcl  14007  dvrdir  14020  dfrhm2  14031  isrhm  14035  isrhmd  14043  rhmfn  14049  rhmval  14050  subrgsubg  14104  lmodfgrp  14173  lmod0vs  14198  lmodvsneg  14208  lmodsubvs  14220  lmodsubdi  14221  lmodsubdir  14222  rmodislmodlem  14227  rmodislmod  14228  issubrgd  14329  lidlsubg  14363  cnfld0  14448  cnfldneg  14450  cnfldsub  14452  cnsubglem  14456  zringgrp  14472  mulgrhm  14486  zrhmulg  14497