Theorem ringgrp 14389

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2238	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2238	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 14388	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1043	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   Mndcmnd 13782   Grpcgrp 13858  mulGrpcmgp 14301   Ringcrg 14384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-ring 14386

This theorem is used by:  ringgrpd  14393  ringmnd  14394  ring0cl  14410  ringacl  14419  ringcom  14420  ringabl  14421  ringlz  14432  ringrz  14433  ringnegl  14440  ringnegr  14441  ringmneg1  14442  ringmneg2  14443  ringm2neg  14444  ringsubdi  14445  ringsubdir  14446  mulgass2  14447  ringlghm  14450  ringrghm  14451  ringressid  14452  imasring  14453  opprring  14468  dvdsrneg  14494  unitnegcl  14521  dvrdir  14534  dfrhm2  14545  isrhm  14549  isrhmd  14557  rhmfn  14563  rhmval  14564  subrgsubg  14619  lmodfgrp  14716  lmod0vs  14742  lmodvsneg  14752  lmodsubvs  14764  lmodsubdi  14765  lmodsubdir  14766  rmodislmodlem  14771  rmodislmod  14772  issubrgd  14873  lidlsubg  14907  cnfld0  14992  cnfldneg  14994  cnfldsub  14996  cnsubglem  15000  zringgrp  15014  mulgrhm  15028  zrhmulg  15039