Theorem ringgrp 14244

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2234	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2234	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 14243	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1039	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375   Mndcmnd 13677   Grpcgrp 13755  mulGrpcmgp 14159   Ringcrg 14239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-ring 14241

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14248  ringmnd  14249  ring0cl  14264  ringacl  14273  ringcom  14274  ringabl  14275  ringlz  14286  ringrz  14287  ringnegl  14294  ringnegr  14295  ringmneg1  14296  ringmneg2  14297  ringm2neg  14298  ringsubdi  14299  ringsubdir  14300  mulgass2  14301  ringlghm  14304  ringrghm  14305  ringressid  14306  imasring  14307  opprring  14322  dvdsrneg  14348  unitnegcl  14375  dvrdir  14388  dfrhm2  14399  isrhm  14403  isrhmd  14411  rhmfn  14417  rhmval  14418  subrgsubg  14473  lmodfgrp  14570  lmod0vs  14595  lmodvsneg  14605  lmodsubvs  14617  lmodsubdi  14618  lmodsubdir  14619  rmodislmodlem  14624  rmodislmod  14625  issubrgd  14726  lidlsubg  14760  cnfld0  14845  cnfldneg  14847  cnfldsub  14849  cnsubglem  14853  zringgrp  14869  mulgrhm  14883  zrhmulg  14894