Theorem ringgrp 13763

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2205	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2205	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2205	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 13762	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1015	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   .rcmulr 12910   Mndcmnd 13248   Grpcgrp 13332  mulGrpcmgp 13682   Ringcrg 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-ring 13760

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13767  ringmnd  13768  ring0cl  13783  ringacl  13792  ringcom  13793  ringabl  13794  ringlz  13805  ringrz  13806  ringnegl  13813  ringnegr  13814  ringmneg1  13815  ringmneg2  13816  ringm2neg  13817  ringsubdi  13818  ringsubdir  13819  mulgass2  13820  ringlghm  13823  ringrghm  13824  ringressid  13825  imasring  13826  opprring  13841  dvdsrneg  13865  unitnegcl  13892  dvrdir  13905  dfrhm2  13916  isrhm  13920  isrhmd  13928  rhmfn  13934  rhmval  13935  subrgsubg  13989  lmodfgrp  14058  lmod0vs  14083  lmodvsneg  14093  lmodsubvs  14105  lmodsubdi  14106  lmodsubdir  14107  rmodislmodlem  14112  rmodislmod  14113  issubrgd  14214  lidlsubg  14248  cnfld0  14333  cnfldneg  14335  cnfldsub  14337  cnsubglem  14341  zringgrp  14357  mulgrhm  14371  zrhmulg  14382