Theorem ringgrp 13959

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2229	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2229	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 13958	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1036	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   .rcmulr 13106   Mndcmnd 13444   Grpcgrp 13528  mulGrpcmgp 13878   Ringcrg 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-ring 13956

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13963  ringmnd  13964  ring0cl  13979  ringacl  13988  ringcom  13989  ringabl  13990  ringlz  14001  ringrz  14002  ringnegl  14009  ringnegr  14010  ringmneg1  14011  ringmneg2  14012  ringm2neg  14013  ringsubdi  14014  ringsubdir  14015  mulgass2  14016  ringlghm  14019  ringrghm  14020  ringressid  14021  imasring  14022  opprring  14037  dvdsrneg  14061  unitnegcl  14088  dvrdir  14101  dfrhm2  14112  isrhm  14116  isrhmd  14124  rhmfn  14130  rhmval  14131  subrgsubg  14185  lmodfgrp  14254  lmod0vs  14279  lmodvsneg  14289  lmodsubvs  14301  lmodsubdi  14302  lmodsubdir  14303  rmodislmodlem  14308  rmodislmod  14309  issubrgd  14410  lidlsubg  14444  cnfld0  14529  cnfldneg  14531  cnfldsub  14533  cnsubglem  14537  zringgrp  14553  mulgrhm  14567  zrhmulg  14578