Theorem ringgrp 13734

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2204	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2204	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2204	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 13733	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1014	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   .rcmulr 12881   Mndcmnd 13219   Grpcgrp 13303  mulGrpcmgp 13653   Ringcrg 13729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-ring 13731

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13738  ringmnd  13739  ring0cl  13754  ringacl  13763  ringcom  13764  ringabl  13765  ringlz  13776  ringrz  13777  ringnegl  13784  ringnegr  13785  ringmneg1  13786  ringmneg2  13787  ringm2neg  13788  ringsubdi  13789  ringsubdir  13790  mulgass2  13791  ringlghm  13794  ringrghm  13795  ringressid  13796  imasring  13797  opprring  13812  dvdsrneg  13836  unitnegcl  13863  dvrdir  13876  dfrhm2  13887  isrhm  13891  isrhmd  13899  rhmfn  13905  rhmval  13906  subrgsubg  13960  lmodfgrp  14029  lmod0vs  14054  lmodvsneg  14064  lmodsubvs  14076  lmodsubdi  14077  lmodsubdir  14078  rmodislmodlem  14083  rmodislmod  14084  issubrgd  14185  lidlsubg  14219  cnfld0  14304  cnfldneg  14306  cnfldsub  14308  cnsubglem  14312  zringgrp  14328  mulgrhm  14342  zrhmulg  14353