Theorem ringgrp 14145

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2232	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
3		eqid 2232	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2232	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 14144	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp1bi 1039	1 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291   Mndcmnd 13629   Grpcgrp 13713  mulGrpcmgp 14064   Ringcrg 14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-ring 14142

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14149  ringmnd  14150  ring0cl  14165  ringacl  14174  ringcom  14175  ringabl  14176  ringlz  14187  ringrz  14188  ringnegl  14195  ringnegr  14196  ringmneg1  14197  ringmneg2  14198  ringm2neg  14199  ringsubdi  14200  ringsubdir  14201  mulgass2  14202  ringlghm  14205  ringrghm  14206  ringressid  14207  imasring  14208  opprring  14223  dvdsrneg  14248  unitnegcl  14275  dvrdir  14288  dfrhm2  14299  isrhm  14303  isrhmd  14311  rhmfn  14317  rhmval  14318  subrgsubg  14372  lmodfgrp  14444  lmod0vs  14469  lmodvsneg  14479  lmodsubvs  14491  lmodsubdi  14492  lmodsubdir  14493  rmodislmodlem  14498  rmodislmod  14499  issubrgd  14600  lidlsubg  14634  cnfld0  14719  cnfldneg  14721  cnfldsub  14723  cnsubglem  14727  zringgrp  14743  mulgrhm  14757  zrhmulg  14768