Theorem lmodfgrp 14173

Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodfgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodfgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 14172	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		ringgrp 13878	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  Scalarcsca 13027  Grpcgrp 13447  Ringcrg 13873  LModclmod 14164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ring 13875  df-lmod 14166

This theorem is referenced by:  lmodacl  14176  lmodsn0  14178  lmodvneg1  14207  lssvsubcl  14243  lspsnneg  14297