Theorem lmodfgrp 14225

Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodfgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodfgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 14224	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		ringgrp 13930	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  Scalarcsca 13079  Grpcgrp 13499  Ringcrg 13925  LModclmod 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ring 13927  df-lmod 14218

This theorem is referenced by:  lmodacl  14228  lmodsn0  14230  lmodvneg1  14259  lssvsubcl  14295  lspsnneg  14349