Theorem lssvsubcl 14000

Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvsubcl.m	|- .- = ( -g ` W )
lssvsubcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvsubcl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
3		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. U )
4		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
5		lssvsubcl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 13995	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. ( Base ` W ) )
8		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
9	4, 5	lsselg 13995	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ Y e. U ) -> Y e. ( Base ` W ) )
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. ( Base ` W ) )
11		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
12		lssvsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		eqid 2196	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
14		eqid 2196	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
15		eqid 2196	. . . 4 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
16		eqid 2196	. . . 4 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
17	4, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lmodvsubval2 13976	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
18	1, 7, 10, 17	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
19	13	lmodfgrp 13930	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Grp )
20	1, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> (Scalar ` W ) e. Grp )
21		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
22	13, 21, 16	lmod1cl 13949	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
24	21, 15	grpinvcl 13252	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
25	20, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
26	4, 13, 14, 21	lmodvscl 13939	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) )
27	1, 25, 10, 26	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) )
28	4, 11	lmodcom 13967	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
30	13, 21, 11, 14, 5	lssclg 13998	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. U /\ X e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. U )
31	1, 2, 25, 8, 3, 30	syl113anc 1261	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. U )
32	29, 31	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. U )
33	18, 32	eqeltrd 2273	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12705   +g cplusg 12782  Scalarcsca 12785   .scvsca 12786   Grpcgrp 13204   invgcminusg 13205   -gcsg 13206   1rcur 13593   LModclmod 13921   LSubSpclss 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-sbg 13209  df-mgp 13555  df-ur 13594  df-ring 13632  df-lmod 13923  df-lssm 13987

This theorem is referenced by:  lssvancl1  14001  lss0cl  14003