Theorem lssvsubcl 14128

Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvsubcl.m	|- .- = ( -g ` W )
lssvsubcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvsubcl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
3		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. U )
4		eqid 2205	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
5		lssvsubcl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 14123	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. ( Base ` W ) )
8		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
9	4, 5	lsselg 14123	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ Y e. U ) -> Y e. ( Base ` W ) )
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. ( Base ` W ) )
11		eqid 2205	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
12		lssvsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		eqid 2205	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
14		eqid 2205	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
15		eqid 2205	. . . 4 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
16		eqid 2205	. . . 4 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
17	4, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lmodvsubval2 14104	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
18	1, 7, 10, 17	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
19	13	lmodfgrp 14058	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Grp )
20	1, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> (Scalar ` W ) e. Grp )
21		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
22	13, 21, 16	lmod1cl 14077	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
24	21, 15	grpinvcl 13380	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
25	20, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
26	4, 13, 14, 21	lmodvscl 14067	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) )
27	1, 25, 10, 26	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) )
28	4, 11	lmodcom 14095	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
30	13, 21, 11, 14, 5	lssclg 14126	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. U /\ X e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. U )
31	1, 2, 25, 8, 3, 30	syl113anc 1262	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. U )
32	29, 31	eqeltrd 2282	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. U )
33	18, 32	eqeltrd 2282	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  Scalarcsca 12912   .scvsca 12913   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333   -gcsg 13334   1rcur 13721   LModclmod 14049   LSubSpclss 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-lmod 14051  df-lssm 14115

This theorem is referenced by:  lssvancl1  14129  lss0cl  14131