Theorem lssvsubcl 14675

Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvsubcl.m	|- .- = ( -g ` W )
lssvsubcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvsubcl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
3		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. U )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
5		lssvsubcl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 14670	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. ( Base ` W ) )
8		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
9	4, 5	lsselg 14670	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ Y e. U ) -> Y e. ( Base ` W ) )
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. ( Base ` W ) )
11		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
12		lssvsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		eqid 2238	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
14		eqid 2238	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
15		eqid 2238	. . . 4 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
16		eqid 2238	. . . 4 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
17	4, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lmodvsubval2 14651	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
18	1, 7, 10, 17	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
19	13	lmodfgrp 14605	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Grp )
20	1, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> (Scalar ` W ) e. Grp )
21		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
22	13, 21, 16	lmod1cl 14624	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
23	1, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
24	21, 15	grpinvcl 13830	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
25	20, 23, 24	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
26	4, 13, 14, 21	lmodvscl 14614	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) )
27	1, 25, 10, 26	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) )
28	4, 11	lmodcom 14642	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
29	1, 7, 27, 28	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) )
30	13, 21, 11, 14, 5	lssclg 14673	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. U /\ X e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. U )
31	1, 2, 25, 8, 3, 30	syl113anc 1290	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. U )
32	29, 31	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. U )
33	18, 32	eqeltrd 2315	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .- Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783   -gcsg 13784   1rcur 14237   LModclmod 14596   LSubSpclss 14661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-lssm 14662

This theorem is referenced by:  lssvancl1  14676  lss0cl  14678