Theorem lmodring 14253

Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	|- F = (Scalar ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodring	|- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Proof of Theorem lmodring

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		lmodring.1	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
5		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
6		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		eqid 2229	. . 3 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2229	. . 3 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14249	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp2bi 1037	1 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   .rcmulr 13106  Scalarcsca 13108   .scvsca 13109   Grpcgrp 13528   1rcur 13917   Ringcrg 13954   LModclmod 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-lmod 14247

This theorem is referenced by:  lmodfgrp  14254  lmodmcl  14258  lmod0cl  14272  lmod1cl  14273  lmod0vs  14279  lmodvs0  14280  lmodvsmmulgdi  14281  lmodvsneg  14289  lmodsubvs  14301  lmodsubdi  14302  lmodsubdir  14303  lssvnegcl  14334  islss3  14337