Theorem lmodring 14308

Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	|- F = (Scalar ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodring	|- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Proof of Theorem lmodring

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		lmodring.1	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
5		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
6		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2231	. . 3 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14304	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp2bi 1039	1 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   Grpcgrp 13582   1rcur 13971   Ringcrg 14008   LModclmod 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-lmod 14302

This theorem is referenced by:  lmodfgrp  14309  lmodmcl  14313  lmod0cl  14327  lmod1cl  14328  lmod0vs  14334  lmodvs0  14335  lmodvsmmulgdi  14336  lmodvsneg  14344  lmodsubvs  14356  lmodsubdi  14357  lmodsubdir  14358  lssvnegcl  14389  islss3  14392