Theorem lmodring 14142

Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	|- F = (Scalar ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodring	|- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Proof of Theorem lmodring

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2206	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2206	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		lmodring.1	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
5		eqid 2206	. . 3 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
6		eqid 2206	. . 3 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		eqid 2206	. . 3 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2206	. . 3 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14138	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp2bi 1016	1 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   Basecbs 12917   +g cplusg 12994   .rcmulr 12995  Scalarcsca 12997   .scvsca 12998   Grpcgrp 13417   1rcur 13806   Ringcrg 13843   LModclmod 14134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-fv 5293  df-ov 5965  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-lmod 14136

This theorem is referenced by:  lmodfgrp  14143  lmodmcl  14147  lmod0cl  14161  lmod1cl  14162  lmod0vs  14168  lmodvs0  14169  lmodvsmmulgdi  14170  lmodvsneg  14178  lmodsubvs  14190  lmodsubdi  14191  lmodsubdir  14192  lssvnegcl  14223  islss3  14226