Theorem lmodring 13791

Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	|- F = (Scalar ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodring	|- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Proof of Theorem lmodring

Dummy variables r q w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		eqid 2193	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		lmodring.1	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
5		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
6		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		eqid 2193	. . 3 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2193	. . 3 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 13787	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. ( Base ` F ) A. r e. ( Base ` F ) A. x e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) x ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) x ) ) /\ ( ( q ( +g ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( q ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( q ( .r ` F ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( q ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` F ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
10	9	simp2bi 1015	1 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696  Scalarcsca 12698   .scvsca 12699   Grpcgrp 13072   1rcur 13455   Ringcrg 13492   LModclmod 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-lmod 13785

This theorem is referenced by:  lmodfgrp  13792  lmodmcl  13796  lmod0cl  13810  lmod1cl  13811  lmod0vs  13817  lmodvs0  13818  lmodvsmmulgdi  13819  lmodvsneg  13827  lmodsubvs  13839  lmodsubdi  13840  lmodsubdir  13841  lssvnegcl  13872  islss3  13875