Theorem lspssp 14416

Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspssp.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspssp.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspssp	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ U )

Proof of Theorem lspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lspssp.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 14373	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
4	3	3adant3 1043	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> U C_ ( Base ` W ) )
5		lspssp.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 5	lspss 14412	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ ( Base ` W ) /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` U ) )
7	4, 6	syld3an2 1320	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` U ) )
8	2, 5	lspid 14410	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )
9	8	3adant3 1043	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` U ) = U )
10	7, 9	sseqtrd 3265	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ` cfv 5326   Basecbs 13081   LModclmod 14300   LSubSpclss 14365   LSpanclspn 14399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-lmod 14302  df-lssm 14366  df-lsp 14400

This theorem is referenced by:  lspsnss  14417  lspprss  14419  lsp0  14436  lsslsp  14442  rspssp  14507