Theorem lspssp 13679

Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspssp.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspssp.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspssp	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ U )

Proof of Theorem lspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2188	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lspssp.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssssg 13636	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
4	3	3adant3 1018	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> U C_ ( Base ` W ) )
5		lspssp.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	1, 5	lspss 13675	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ ( Base ` W ) /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` U ) )
7	4, 6	syld3an2 1295	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` U ) )
8	2, 5	lspid 13673	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( N ` U ) = U )
9	8	3adant3 1018	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` U ) = U )
10	7, 9	sseqtrd 3207	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2159   C_ wss 3143   ` cfv 5230   Basecbs 12479   LModclmod 13563   LSubSpclss 13628   LSpanclspn 13662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-lmod 13565  df-lssm 13629  df-lsp 13663

This theorem is referenced by:  lspsnss  13680  lspprss  13682  lsp0  13699  lsslsp  13705  rspssp  13770