Theorem lspsnid 14793

Description: A vector belongs to the span of its singleton. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnid.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnid.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnid	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3859	. . 3 |- ( X e. V -> { X } C_ V )
2		lspsnid.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
3		lspsnid.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
4	2, 3	lspssid 14786	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> { X } C_ ( N ` { X } ) )
5	1, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { X } C_ ( N ` { X } ) )
6		snssg 3849	. . 3 |- ( X e. V -> ( X e. ( N ` { X } ) <-> { X } C_ ( N ` { X } ) ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X e. ( N ` { X } ) <-> { X } C_ ( N ` { X } ) ) )
8	5, 7	mpbird 167	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {csn 3709   ` cfv 5377   Basecbs 13401   LModclmod 14672   LSpanclspn 14772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-sca 13496  df-vsca 13497  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857  df-lmod 14674  df-lssm 14739  df-lsp 14773

This theorem is used by:  ellspsn6  14794  lssats2  14800  lspsneli  14801  lspsn  14802  lspsneq0  14812