Theorem ltadd1i 8454

Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	|- A e. RR
lt2.2	|- B e. RR
lt2.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltadd1i	|- ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) )

Proof of Theorem ltadd1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2.1	. 2 |- A e. RR
2		lt2.2	. 2 |- B e. RR
3		lt2.3	. 2 |- C e. RR
4		ltadd1 8381	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1337	1 |- ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871   RRcr 7806   + caddc 7810   < clt 7987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-i2m1 7912  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-iota 5176  df-fv 5222  df-ov 5874  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-ltxr 7992

This theorem is referenced by:  inelr  8536  ef01bndlem  11756