Theorem ltadd1 8764

Description: Addition to both sides of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

Proof of Theorem ltadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2 8754	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
2		simp3 1030	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3	2	recnd 8360	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
4		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5	4	recnd 8360	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
6	3, 5	addcomd 8484	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + A ) = ( A + C ) )
7		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 8360	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	3, 8	addcomd 8484	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + B ) = ( B + C ) )
10	6, 9	breq12d 4144	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C + A ) < ( C + B ) <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )
11	1, 10	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   + caddc 8188   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  leadd1  8765  ltsubadd  8767  ltaddsub  8771  lt2add  8780  ltleadd  8781  ltadd1i  8837  ltadd1d  8873  reapadd1  8932  addltmul  9553  avglt2  9556  xltadd1  10295  icoshft  10409  fzonn0p1p1  10648  caucvgre  11769  chtqub  16296