Theorem ltadd1 8283

Description: Addition to both sides of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

Proof of Theorem ltadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2 8273	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
2		simp3 984	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3	2	recnd 7885	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
4		simp1 982	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5	4	recnd 7885	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
6	3, 5	addcomd 8005	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + A ) = ( A + C ) )
7		simp2 983	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 7885	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	3, 8	addcomd 8005	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + B ) = ( B + C ) )
10	6, 9	breq12d 3974	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C + A ) < ( C + B ) <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )
11	1, 10	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814   RRcr 7710   + caddc 7714   < clt 7891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-i2m1 7816  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-iota 5128  df-fv 5171  df-ov 5817  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-ltxr 7896

This theorem is referenced by:  leadd1  8284  ltsubadd  8286  ltaddsub  8290  lt2add  8299  ltleadd  8300  ltadd1i  8356  ltadd1d  8392  reapadd1  8450  addltmul  9048  avglt2  9051  xltadd1  9758  icoshft  9872  fzonn0p1p1  10090  caucvgre  10858