Theorem ltadd1 8456

Description: Addition to both sides of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

Proof of Theorem ltadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2 8446	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
2		simp3 1001	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3	2	recnd 8055	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
4		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5	4	recnd 8055	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
6	3, 5	addcomd 8177	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + A ) = ( A + C ) )
7		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 8055	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	3, 8	addcomd 8177	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + B ) = ( B + C ) )
10	6, 9	breq12d 4046	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C + A ) < ( C + B ) <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )
11	1, 10	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   + caddc 7882   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  leadd1  8457  ltsubadd  8459  ltaddsub  8463  lt2add  8472  ltleadd  8473  ltadd1i  8529  ltadd1d  8565  reapadd1  8623  addltmul  9228  avglt2  9231  xltadd1  9951  icoshft  10065  fzonn0p1p1  10289  caucvgre  11146