Theorem ltadd1 8110

Description: Addition to both sides of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

Proof of Theorem ltadd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2 8100	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( C + A ) < ( C + B ) ) )
2		simp3 966	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
3	2	recnd 7718	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
4		simp1 964	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
5	4	recnd 7718	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
6	3, 5	addcomd 7836	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + A ) = ( A + C ) )
7		simp2 965	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
8	7	recnd 7718	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	3, 8	addcomd 7836	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C + B ) = ( B + C ) )
10	6, 9	breq12d 3908	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C + A ) < ( C + B ) <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )
11	1, 10	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 945   e. wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   + caddc 7550   < clt 7724

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-i2m1 7650  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-ltxr 7729

This theorem is referenced by:  leadd1  8111  ltsubadd  8113  ltaddsub  8117  lt2add  8126  ltleadd  8127  ltadd1i  8183  ltadd1d  8218  reapadd1  8276  addltmul  8860  avglt2  8863  xltadd1  9552  icoshft  9666  fzonn0p1p1  9883  caucvgre  10645