Theorem ltadd1i 8670

Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt2.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltadd1i	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem ltadd1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt2.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt2.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		ltadd1 8597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1371	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4084  (class class class)co 6011  ℝcr 8019   + caddc 8023   < clt 8202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-i2m1 8125  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-xp 4727  df-iota 5282  df-fv 5330  df-ov 6014  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207

This theorem is referenced by:  inelr  8752  ef01bndlem  12304