Theorem ltleaddd 8488

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lt2addd.4	|- ( ph -> D e. RR )
ltleaddd.5	|- ( ph -> A < C )
ltleaddd.6	|- ( ph -> B <_ D )

Assertion

Ref	Expression
ltleaddd	|- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Proof of Theorem ltleaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltleaddd.5	. 2 |- ( ph -> A < C )
2		ltleaddd.6	. 2 |- ( ph -> B <_ D )
3		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lt2addd.4	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
7		ltleadd 8369	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A < C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1235	. 2 |- ( ph -> ( ( A < C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )
9	1, 2, 8	mp2and 431	1 |- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2142   class class class wbr 3990  (class class class)co 5857   RRcr 7777   + caddc 7781   < clt 7958   <_ cle 7959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-i2m1 7883  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-xp 4618  df-cnv 4620  df-iota 5162  df-fv 5208  df-ov 5860  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964

This theorem is referenced by:  lt2addd  8490  trilpolemeq1  14189