Theorem ltleaddd 8835

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lt2addd.4	|- ( ph -> D e. RR )
ltleaddd.5	|- ( ph -> A < C )
ltleaddd.6	|- ( ph -> B <_ D )

Assertion

Ref	Expression
ltleaddd	|- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Proof of Theorem ltleaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltleaddd.5	. 2 |- ( ph -> A < C )
2		ltleaddd.6	. 2 |- ( ph -> B <_ D )
3		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lt2addd.4	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
7		ltleadd 8716	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A < C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1275	. 2 |- ( ph -> ( ( A < C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )
9	1, 2, 8	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   RRcr 8122   + caddc 8126   < clt 8304   <_ cle 8305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310

This theorem is referenced by:  lt2addd  8837  trilpolemeq1  16811