Theorem lt2addd 8611

Description: Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lt2addd.4	|- ( ph -> D e. RR )
lt2addd.5	|- ( ph -> A < C )
lt2addd.6	|- ( ph -> B < D )

Assertion

Ref	Expression
lt2addd	|- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Proof of Theorem lt2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		ltadd1d.3	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
4		lt2addd.4	. 2 |- ( ph -> D e. RR )
5		lt2addd.5	. 2 |- ( ph -> A < C )
6		lt2addd.6	. . 3 |- ( ph -> B < D )
7	2, 4, 6	ltled 8162	. 2 |- ( ph -> B <_ D )
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	ltleaddd 8609	1 |- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RRcr 7895   + caddc 7899   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  modaddmodup  10496  modsumfzodifsn  10505  resqrexlemnm  11200  mertenslemi1  11717