ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leltaddd Unicode version

Theorem leltaddd 8140
Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
leltaddd.5  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
leltaddd.6  |-  ( ph  ->  B  <  D )
Assertion
Ref Expression
leltaddd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem leltaddd
StepHypRef Expression
1 leltaddd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
2 leltaddd.6 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  D )
3 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lt2addd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7 leltadd 8022 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <  D
)  ->  ( A  +  B )  <  ( C  +  D )
) )
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <  D
)  ->  ( A  +  B )  <  ( C  +  D )
) )
91, 2, 8mp2and 425 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446    + caddc 7450    < clt 7619    <_ cle 7620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-cnv 4475  df-iota 5014  df-fv 5057  df-ov 5693  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625
This theorem is referenced by:  flqdiv  9877
  Copyright terms: Public domain W3C validator