Theorem leltaddd 8681

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lt2addd.4	|- ( ph -> D e. RR )
leltaddd.5	|- ( ph -> A <_ C )
leltaddd.6	|- ( ph -> B < D )

Assertion

Ref	Expression
leltaddd	|- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Proof of Theorem leltaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leltaddd.5	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
2		leltaddd.6	. 2 |- ( ph -> B < D )
3		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lt2addd.4	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
7		leltadd 8562	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ C /\ B < D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1253	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ C /\ B < D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )
9	1, 2, 8	mp2and 433	1 |- ( ph -> ( A + B ) < ( C + D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974   RRcr 7966   + caddc 7970   < clt 8149   <_ cle 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-xp 4702  df-cnv 4704  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155

This theorem is referenced by:  flqdiv  10510  trilpolemeq1  16319