ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsym2 Unicode version

Theorem ltnsym2 7967
Description: 'Less than' is antisymmetric and irreflexive. (Contributed by NM, 13-Aug-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ltnsym2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  < 
B  /\  B  <  A ) )

Proof of Theorem ltnsym2
StepHypRef Expression
1 ltso 7955 . 2  |-  <  Or  RR
2 so2nr 4281 . 2  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  -.  ( A  <  B  /\  B  <  A ) )
31, 2mpan 421 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  < 
B  /\  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2128   class class class wbr 3965    Or wor 4255   RRcr 7731    < clt 7912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917
This theorem is referenced by:  reapltxor  8464  msqge0  8491  mulge0  8494  ivthinclemlopn  13025
  Copyright terms: Public domain W3C validator