Theorem ltnsym2 7967

Description: 'Less than' is antisymmetric and irreflexive. (Contributed by NM, 13-Aug-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Proof of Theorem ltnsym2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 7955	. 2 |- < Or RR
2		so2nr 4281	. 2 |- ( ( < Or RR /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )
3	1, 2	mpan 421	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   Or wor 4255   RRcr 7731   < clt 7912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917

This theorem is referenced by:  reapltxor  8464  msqge0  8491  mulge0  8494  ivthinclemlopn  13025