Theorem ltnsym2 8364

Description: 'Less than' is antisymmetric and irreflexive. (Contributed by NM, 13-Aug-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Proof of Theorem ltnsym2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 8351	. 2 |- < Or RR
2		so2nr 4442	. 2 |- ( ( < Or RR /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   Or wor 4416   RRcr 8126   < clt 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313

This theorem is referenced by:  reapltxor  8863  msqge0  8890  mulge0  8893  ivthinclemlopn  15501  lgsquadlem3  15952