Theorem ltnsym2 8014

Description: 'Less than' is antisymmetric and irreflexive. (Contributed by NM, 13-Aug-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Proof of Theorem ltnsym2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 8001	. 2 |- < Or RR
2		so2nr 4307	. 2 |- ( ( < Or RR /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )
3	1, 2	mpan 422	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2142   class class class wbr 3990   Or wor 4281   RRcr 7777   < clt 7958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-po 4282  df-iso 4283  df-xp 4618  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-ltxr 7963

This theorem is referenced by:  reapltxor  8512  msqge0  8539  mulge0  8542  ivthinclemlopn  13493