Theorem ltso 7835

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	|- < Or RR

Proof of Theorem ltso

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7834	. . . . 5 |- ( x e. RR -> -. x < x )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -. x < x )
3		lttr 7831	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
5	2, 4	ispod 4221	. . 3 |- ( T. -> < Po RR )
6	5	mptru 1340	. 2 |- < Po RR
7		axltwlin 7825	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) )
8	7	rgen3 2517	. 2 |- A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) )
9		df-iso 4214	. 2 |- ( < Or RR <-> ( < Po RR /\ A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) ) )
10	6, 8, 9	mpbir2an 926	1 |- < Or RR

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   /\ w3a 962   T. wtru 1332   e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   Or wor 4212   RRcr 7612   < clt 7793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798

This theorem is referenced by:  gtso  7836  ltnsym2  7847  suprlubex  8703  fimaxq  10566