ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltso Unicode version

Theorem ltso 7955
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltnr 7954 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  <  x )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -.  x  <  x )
3 lttr 7951 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
43adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  < 
y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z ) )
52, 4ispod 4264 . . 3  |-  ( T. 
->  <  Po  RR )
65mptru 1344 . 2  |-  <  Po  RR
7 axltwlin 7945 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
87rgen3 2544 . 2  |-  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) )
9 df-iso 4257 . 2  |-  (  < 
Or  RR  <->  (  <  Po  RR  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) ) )
106, 8, 9mpbir2an 927 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698    /\ w3a 963   T. wtru 1336    e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3965    Po wpo 4254    Or wor 4255   RRcr 7731    < clt 7912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917
This theorem is referenced by:  gtso  7956  ltnsym2  7967  suprlubex  8823  fimaxq  10701
  Copyright terms: Public domain W3C validator