Theorem ltso 8224

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	|- < Or RR

Proof of Theorem ltso

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8223	. . . . 5 |- ( x e. RR -> -. x < x )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -. x < x )
3		lttr 8220	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
5	2, 4	ispod 4395	. . 3 |- ( T. -> < Po RR )
6	5	mptru 1404	. 2 |- < Po RR
7		axltwlin 8214	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) )
8	7	rgen3 2617	. 2 |- A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) )
9		df-iso 4388	. 2 |- ( < Or RR <-> ( < Po RR /\ A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) ) )
10	6, 8, 9	mpbir2an 948	1 |- < Or RR

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   /\ w3a 1002   T. wtru 1396   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083   Po wpo 4385   Or wor 4386   RRcr 7998   < clt 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186

This theorem is referenced by:  gtso  8225  ltnsym2  8237  suprlubex  9099  fimaxq  11049