Theorem ltso 8048

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	|- < Or RR

Proof of Theorem ltso

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8047	. . . . 5 |- ( x e. RR -> -. x < x )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -. x < x )
3		lttr 8044	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
5	2, 4	ispod 4316	. . 3 |- ( T. -> < Po RR )
6	5	mptru 1372	. 2 |- < Po RR
7		axltwlin 8038	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) )
8	7	rgen3 2574	. 2 |- A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) )
9		df-iso 4309	. 2 |- ( < Or RR <-> ( < Po RR /\ A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) ) )
10	6, 8, 9	mpbir2an 943	1 |- < Or RR

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 979   T. wtru 1364   e. wcel 2158   A.wral 2465   class class class wbr 4015   Po wpo 4306   Or wor 4307   RRcr 7823   < clt 8005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010

This theorem is referenced by:  gtso  8049  ltnsym2  8061  suprlubex  8922  fimaxq  10820