Theorem ltso 8403

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	|- < Or RR

Proof of Theorem ltso

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 8402	. . . . 5 |- ( x e. RR -> -. x < x )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -. x < x )
3		lttr 8399	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( x < y /\ y < z ) -> x < z ) )
5	2, 4	ispod 4449	. . 3 |- ( T. -> < Po RR )
6	5	mptru 1411	. 2 |- < Po RR
7		axltwlin 8393	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR ) -> ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) )
8	7	rgen3 2637	. 2 |- A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) )
9		df-iso 4442	. 2 |- ( < Or RR <-> ( < Po RR /\ A. x e. RR A. y e. RR A. z e. RR ( x < y -> ( x < z \/ z < y ) ) ) )
10	6, 8, 9	mpbir2an 955	1 |- < Or RR

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   /\ w3a 1009   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4130   Po wpo 4439   Or wor 4440   RRcr 8178   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  gtso  8404  ltnsym2  8416  suprlubex  9282  fimaxq  11270