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Theorem ivthinclemlopn 12772
Description: Lemma for ivthinc 12779. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivthinc.i  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
ivthinclem.l  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
ivthinclem.r  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
ivthinclemlopn.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  L )
Assertion
Ref Expression
ivthinclemlopn  |-  ( ph  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
Distinct variable groups:    w, A    x, A, y    w, B    x, B, y    w, F    x, F, y    L, r    Q, r    w, Q    x, Q, y    w, U    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( w, r)    A( r)    B( r)    D( x, y, w, r)    R( x, y, w, r)    U( x, y, r)    F( r)    L( x, y, w)

Proof of Theorem ivthinclemlopn
Dummy variables  z  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
2 ivth.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
3 ivthinclemlopn.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  L )
4 fveq2 5414 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  Q  ->  ( F `  w )  =  ( F `  Q ) )
54breq1d 3934 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Q  ->  (
( F `  w
)  <  U  <->  ( F `  Q )  <  U
) )
6 ivthinclem.l . . . . . . 7  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
75, 6elrab2 2838 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  L  <->  ( Q  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  Q )  <  U
) )
83, 7sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  /\  ( F `  Q )  <  U
) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( A [,] B ) )
102, 9sseldd 3093 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  D )
11 ivth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
12 fveq2 5414 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Q ) )
1312eleq1d 2206 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  Q )  e.  RR ) )
14 ivth.8 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1514ralrimiva 2503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
1613, 15, 9rspcdva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  RR )
1711, 16resubcld 8136 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  ( F `  Q )
)  e.  RR )
188simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  <  U )
1916, 11posdifd 8287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  <  U  <->  0  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
2117, 20elrpd 9474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  -  ( F `  Q )
)  e.  RR+ )
22 cncfi 12723 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  Q  e.  D  /\  ( U  -  ( F `  Q ) )  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
231, 10, 21, 22syl3anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
26 elicc2 9714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) ) )
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) )
2928simp1d 993 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  e.  RR )
31 simprl 520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
3231rphalfcld 9489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  RR+ )
3332rpred 9476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  RR )
3430, 33readdcld 7788 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  RR )
3524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
3628simp2d 994 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  Q )
3736adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  <_  Q )
3830, 32ltaddrpd 9510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
3930, 34, 38ltled 7874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
4035, 30, 34, 37, 39letrd 7879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
4125adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
4231rpred 9476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
4330, 42readdcld 7788 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  d )  e.  RR )
44 rphalflt 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( d  /  2 )  < 
d )
4531, 44syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  <  d )
4633, 42, 30, 45ltadd2dd 8177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <  ( Q  +  d ) )
4729ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  Q  e.  RR )
4831adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  d  e.  RR+ )
4948rpred 9476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  d  e.  RR )
5047, 49resubcld 8136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  e.  RR )
5125ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  e.  RR )
5247, 48ltsubrpd 9509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  <  Q )
5328simp3d 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  <_  B )
5453ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  Q  <_  B )
5550, 47, 51, 52, 54ltletrd 8178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  <  B )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  <  ( Q  +  d ) )
5751, 47, 49absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  <->  ( ( Q  -  d )  <  B  /\  B  < 
( Q  +  d ) ) ) )
5855, 56, 57mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( abs `  ( B  -  Q ) )  < 
d )
59 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  B  ->  ( abs `  ( z  -  Q ) )  =  ( abs `  ( B  -  Q )
) )
6059breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  B  ->  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  <->  ( abs `  ( B  -  Q
) )  <  d
) )
6160imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )
62 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
6324rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
6425rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
65 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6624, 25, 65ltled 7874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
67 ubicc2 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
6863, 64, 66, 67syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
692, 68sseldd 3093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
7069ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  e.  D )
7161, 62, 70rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
73 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
7473eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7515adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) ( F `  x )  e.  RR )
7668adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
7774, 75, 76rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
7877adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
7916ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
8017ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( U  -  ( F `  Q ) )  e.  RR )
8178, 79, 80absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  B
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) )  <->  ( (
( F `  Q
)  -  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) ) ) )
8272, 81mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( ( F `  Q )  -  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) ) )
8382simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) )
8479recnd 7787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
8511recnd 7787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
8685ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  e.  CC )
8784, 86pncan3d 8069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( F `  Q
)  +  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  =  U )
8883, 87breqtrd 3949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  <  U )
89 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9089simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
9190ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  <  ( F `  B
) )
9288, 91jca 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( F `  B
)  <  U  /\  U  <  ( F `  B ) ) )
9311ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  e.  RR )
94 ltnsym2 7847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  -.  ( ( F `
 B )  < 
U  /\  U  <  ( F `  B ) ) )
9578, 93, 94syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  -.  ( ( F `  B )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9692, 95pm2.65da 650 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  -.  B  <  ( Q  +  d ) )
9743, 41, 96nltled 7876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  d )  <_  B )
9834, 43, 41, 46, 97ltletrd 8178 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <  B )
9934, 41, 98ltled 7874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <_  B )
100 elicc2 9714 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( Q  +  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( Q  +  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  /\  ( Q  +  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
10135, 41, 100syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  /\  ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  <_  B ) ) )
10234, 40, 99, 101mpbir3and 1164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B ) )
10316adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
104 fveq2 5414 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
105104eleq1d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  e.  RR ) )
106105, 75, 102rspcdva 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  e.  RR )
107 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( Q  <  y  <->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
108 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
109108breq2d 3936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  Q
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) ) ) )
110107, 109imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( Q  <  y  ->  ( F `  Q
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) ) ) ) )
111 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Q  ->  (
x  <  y  <->  Q  <  y ) )
11212breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Q  ->  (
( F `  x
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) )
113111, 112imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Q  ->  (
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( Q  <  y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) ) )
114113ralbidv 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Q  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  -> 
( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( Q  < 
y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) ) )
115 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
116115expr 372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )
117116ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
118117ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )
119114, 118, 9rspcdva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( Q  <  y  ->  ( F `  Q
)  <  ( F `  y ) ) )
120119adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( Q  < 
y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) )
121110, 120, 102rspcdva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  <  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) ) )
12238, 121mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
123103, 106, 122ltled 7874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  <_  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
124103, 106, 123abssubge0d 10941 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  -  ( F `  Q ) ) )  =  ( ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )
12530recnd 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
12633recnd 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  CC )
127125, 126pncan2d 8068 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q )  =  ( d  / 
2 ) )
128127fveq2d 5418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  =  ( abs `  (
d  /  2 ) ) )
12932rpge0d 9480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  0  <_  ( d  /  2
) )
13033, 129absidd 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( d  / 
2 ) )  =  ( d  /  2
) )
131128, 130eqtrd 2170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  =  ( d  /  2
) )
132131, 45eqbrtrd 3945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  < 
d )
133 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( abs `  ( z  -  Q ) )  =  ( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) ) )
134133breq1d 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  <->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  /  2
) )  -  Q
) )  <  d
) )
135134imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <-> 
( ( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )
136 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
1372adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  D )
138137, 102sseldd 3093 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  D )
139135, 136, 138rspcdva 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
140132, 139mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
141124, 140eqbrtrrd 3947 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
14211adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
143106, 142, 103ltsub1d 8309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  <  U  <->  ( ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  -  ( F `  Q ) )  < 
( U  -  ( F `  Q )
) ) )
144141, 143mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  <  U )
145 fveq2 5414 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
146145breq1d 3934 . . . . 5  |-  ( w  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  w
)  <  U  <->  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  <  U
) )
147146, 6elrab2 2838 . . . 4  |-  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L  <->  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  /\  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  <  U ) )
148102, 144, 147sylanbrc 413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L )
149 breq2 3928 . . . 4  |-  ( r  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( Q  <  r  <->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
150149rspcev 2784 . . 3  |-  ( ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L  /\  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
151148, 38, 150syl2anc 408 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
15223, 151rexlimddv 2552 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418    C_ wss 3066   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613    + caddc 7616   RR*cxr 7792    < clt 7793    <_ cle 7794    - cmin 7926    / cdiv 8425   2c2 8764   RR+crp 9434   [,]cicc 9667   abscabs 10762   -cn->ccncf 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-cncf 12716
This theorem is referenced by:  ivthinclemlr  12773
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