Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemlopn Unicode version

Theorem ivthinclemlopn 12772
 Description: Lemma for ivthinc 12779. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1
ivth.2
ivth.3
ivth.4
ivth.5
ivth.7
ivth.8
ivth.9
ivthinc.i
ivthinclem.l
ivthinclem.r
ivthinclemlopn.q
Assertion
Ref Expression
ivthinclemlopn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,,,)   (,,,)   (,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem ivthinclemlopn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3
2 ivth.5 . . . 4
3 ivthinclemlopn.q . . . . . 6
4 fveq2 5414 . . . . . . . 8
54breq1d 3934 . . . . . . 7
6 ivthinclem.l . . . . . . 7
75, 6elrab2 2838 . . . . . 6
83, 7sylib 121 . . . . 5
98simpld 111 . . . 4
102, 9sseldd 3093 . . 3
11 ivth.3 . . . . 5
12 fveq2 5414 . . . . . . 7
1312eleq1d 2206 . . . . . 6
14 ivth.8 . . . . . . 7
1514ralrimiva 2503 . . . . . 6
1613, 15, 9rspcdva 2789 . . . . 5
1711, 16resubcld 8136 . . . 4
188simprd 113 . . . . 5
1916, 11posdifd 8287 . . . . 5
2018, 19mpbid 146 . . . 4
2117, 20elrpd 9474 . . 3
22 cncfi 12723 . . 3
231, 10, 21, 22syl3anc 1216 . 2
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10
26 elicc2 9714 . . . . . . . . . 10
2724, 25, 26syl2anc 408 . . . . . . . . 9
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8
2928simp1d 993 . . . . . . 7
3029adantr 274 . . . . . 6
31 simprl 520 . . . . . . . 8
3231rphalfcld 9489 . . . . . . 7
3332rpred 9476 . . . . . 6
3430, 33readdcld 7788 . . . . 5
3524adantr 274 . . . . . 6
3628simp2d 994 . . . . . . 7
3736adantr 274 . . . . . 6
3830, 32ltaddrpd 9510 . . . . . . 7
3930, 34, 38ltled 7874 . . . . . 6
4035, 30, 34, 37, 39letrd 7879 . . . . 5
4125adantr 274 . . . . . 6
4231rpred 9476 . . . . . . . 8
4330, 42readdcld 7788 . . . . . . 7
44 rphalflt 9464 . . . . . . . . 9
4531, 44syl 14 . . . . . . . 8
4633, 42, 30, 45ltadd2dd 8177 . . . . . . 7
4729ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4831adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948rpred 9476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5047, 49resubcld 8136 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5125ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5247, 48ltsubrpd 9509 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5328simp3d 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5550, 47, 51, 52, 54ltletrd 8178 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15
5751, 47, 49absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . . . . 15
5855, 56, 57mpbir2and 928 . . . . . . . . . . . . . 14
59 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . . 15
6324rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6425rexrd 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6624, 25, 65ltled 7874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67 ubicc2 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6863, 64, 66, 67syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
692, 68sseldd 3093 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
7161, 62, 70rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . . 14
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13
73 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7515adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7668adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7774, 75, 76rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14
7916ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14
8017ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14
8178, 79, 80absdifltd 10943 . . . . . . . . . . . . 13
8272, 81mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12
8382simprd 113 . . . . . . . . . . 11
8479recnd 7787 . . . . . . . . . . . 12
8511recnd 7787 . . . . . . . . . . . . 13
8685ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12
8784, 86pncan3d 8069 . . . . . . . . . . 11
8883, 87breqtrd 3949 . . . . . . . . . 10
89 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12
9089simprd 113 . . . . . . . . . . 11
9190ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
9288, 91jca 304 . . . . . . . . 9
9311ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
94 ltnsym2 7847 . . . . . . . . . 10
9578, 93, 94syl2anc 408 . . . . . . . . 9
9692, 95pm2.65da 650 . . . . . . . 8
9743, 41, 96nltled 7876 . . . . . . 7
9834, 43, 41, 46, 97ltletrd 8178 . . . . . 6
9934, 41, 98ltled 7874 . . . . 5
100 elicc2 9714 . . . . . 6
10135, 41, 100syl2anc 408 . . . . 5
10234, 40, 99, 101mpbir3and 1164 . . . 4
10316adantr 274 . . . . . . 7
104 fveq2 5414 . . . . . . . . 9
105104eleq1d 2206 . . . . . . . 8
106105, 75, 102rspcdva 2789 . . . . . . 7
107 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11
108 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12
109108breq2d 3936 . . . . . . . . . . 11
110107, 109imbi12d 233 . . . . . . . . . 10
111 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . 14
11212breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . 14
113111, 112imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13
114113ralbidv 2435 . . . . . . . . . . . 12
115 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15
116115expr 372 . . . . . . . . . . . . . 14
117116ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . . 13
118117ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . 12
119114, 118, 9rspcdva 2789 . . . . . . . . . . 11
120119adantr 274 . . . . . . . . . 10
121110, 120, 102rspcdva 2789 . . . . . . . . 9
12238, 121mpd 13 . . . . . . . 8
123103, 106, 122ltled 7874 . . . . . . 7
124103, 106, 123abssubge0d 10941 . . . . . 6
12530recnd 7787 . . . . . . . . . . 11
12633recnd 7787 . . . . . . . . . . 11
127125, 126pncan2d 8068 . . . . . . . . . 10
128127fveq2d 5418 . . . . . . . . 9
12932rpge0d 9480 . . . . . . . . . 10
13033, 129absidd 10932 . . . . . . . . 9
131128, 130eqtrd 2170 . . . . . . . 8
132131, 45eqbrtrd 3945 . . . . . . 7
133 fvoveq1 5790 . . . . . . . . . 10
134133breq1d 3934 . . . . . . . . 9
135134imbrov2fvoveq 5792 . . . . . . . 8
136 simprr 521 . . . . . . . 8
1372adantr 274 . . . . . . . . 9
138137, 102sseldd 3093 . . . . . . . 8
139135, 136, 138rspcdva 2789 . . . . . . 7
140132, 139mpd 13 . . . . . 6
141124, 140eqbrtrrd 3947 . . . . 5
14211adantr 274 . . . . . 6
143106, 142, 103ltsub1d 8309 . . . . 5
144141, 143mpbird 166 . . . 4
145 fveq2 5414 . . . . . 6
146145breq1d 3934 . . . . 5
147146, 6elrab2 2838 . . . 4
148102, 144, 147sylanbrc 413 . . 3
149 breq2 3928 . . . 4
150149rspcev 2784 . . 3
151148, 38, 150syl2anc 408 . 2
15223, 151rexlimddv 2552 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  crab 2418   wss 3066   class class class wbr 3924  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  cr 7612  cc0 7613   caddc 7616  cxr 7792   clt 7793   cle 7794   cmin 7926   cdiv 8425  c2 8764  crp 9434  cicc 9667  cabs 10762  ccncf 12715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-cncf 12716 This theorem is referenced by:  ivthinclemlr  12773
 Copyright terms: Public domain W3C validator