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Theorem ivthinclemlopn 13025
Description: Lemma for ivthinc 13032. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivthinc.i  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
ivthinclem.l  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
ivthinclem.r  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
ivthinclemlopn.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  L )
Assertion
Ref Expression
ivthinclemlopn  |-  ( ph  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
Distinct variable groups:    w, A    x, A, y    w, B    x, B, y    w, F    x, F, y    L, r    Q, r    w, Q    x, Q, y    w, U    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( w, r)    A( r)    B( r)    D( x, y, w, r)    R( x, y, w, r)    U( x, y, r)    F( r)    L( x, y, w)

Proof of Theorem ivthinclemlopn
Dummy variables  z  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
2 ivth.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
3 ivthinclemlopn.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  L )
4 fveq2 5468 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  Q  ->  ( F `  w )  =  ( F `  Q ) )
54breq1d 3975 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Q  ->  (
( F `  w
)  <  U  <->  ( F `  Q )  <  U
) )
6 ivthinclem.l . . . . . . 7  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
75, 6elrab2 2871 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  L  <->  ( Q  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  Q )  <  U
) )
83, 7sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  /\  ( F `  Q )  <  U
) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( A [,] B ) )
102, 9sseldd 3129 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  D )
11 ivth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
12 fveq2 5468 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Q ) )
1312eleq1d 2226 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  Q )  e.  RR ) )
14 ivth.8 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1514ralrimiva 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
1613, 15, 9rspcdva 2821 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  RR )
1711, 16resubcld 8256 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  ( F `  Q )
)  e.  RR )
188simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  <  U )
1916, 11posdifd 8407 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  <  U  <->  0  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
2117, 20elrpd 9600 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  -  ( F `  Q )
)  e.  RR+ )
22 cncfi 12976 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  Q  e.  D  /\  ( U  -  ( F `  Q ) )  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
231, 10, 21, 22syl3anc 1220 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
26 elicc2 9842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) ) )
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) )
2928simp1d 994 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  e.  RR )
31 simprl 521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
3231rphalfcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  RR+ )
3332rpred 9603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  RR )
3430, 33readdcld 7907 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  RR )
3524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
3628simp2d 995 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  Q )
3736adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  <_  Q )
3830, 32ltaddrpd 9637 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
3930, 34, 38ltled 7994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
4035, 30, 34, 37, 39letrd 7999 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
4125adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
4231rpred 9603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
4330, 42readdcld 7907 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  d )  e.  RR )
44 rphalflt 9590 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( d  /  2 )  < 
d )
4531, 44syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  <  d )
4633, 42, 30, 45ltadd2dd 8297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <  ( Q  +  d ) )
4729ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  Q  e.  RR )
4831adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  d  e.  RR+ )
4948rpred 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  d  e.  RR )
5047, 49resubcld 8256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  e.  RR )
5125ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  e.  RR )
5247, 48ltsubrpd 9636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  <  Q )
5328simp3d 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  <_  B )
5453ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  Q  <_  B )
5550, 47, 51, 52, 54ltletrd 8298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  <  B )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  <  ( Q  +  d ) )
5751, 47, 49absdifltd 11078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  <->  ( ( Q  -  d )  <  B  /\  B  < 
( Q  +  d ) ) ) )
5855, 56, 57mpbir2and 929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( abs `  ( B  -  Q ) )  < 
d )
59 fvoveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  B  ->  ( abs `  ( z  -  Q ) )  =  ( abs `  ( B  -  Q )
) )
6059breq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  B  ->  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  <->  ( abs `  ( B  -  Q
) )  <  d
) )
6160imbrov2fvoveq 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )
62 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
6324rexrd 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
6425rexrd 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
65 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6624, 25, 65ltled 7994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
67 ubicc2 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
6863, 64, 66, 67syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
692, 68sseldd 3129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
7069ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  e.  D )
7161, 62, 70rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
73 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
7473eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7515adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) ( F `  x )  e.  RR )
7668adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
7774, 75, 76rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
7877adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
7916ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
8017ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( U  -  ( F `  Q ) )  e.  RR )
8178, 79, 80absdifltd 11078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  B
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) )  <->  ( (
( F `  Q
)  -  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) ) ) )
8272, 81mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( ( F `  Q )  -  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) ) )
8382simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) )
8479recnd 7906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
8511recnd 7906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
8685ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  e.  CC )
8784, 86pncan3d 8189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( F `  Q
)  +  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  =  U )
8883, 87breqtrd 3990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  <  U )
89 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9089simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
9190ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  <  ( F `  B
) )
9288, 91jca 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( F `  B
)  <  U  /\  U  <  ( F `  B ) ) )
9311ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  e.  RR )
94 ltnsym2 7967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  -.  ( ( F `
 B )  < 
U  /\  U  <  ( F `  B ) ) )
9578, 93, 94syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  -.  ( ( F `  B )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9692, 95pm2.65da 651 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  -.  B  <  ( Q  +  d ) )
9743, 41, 96nltled 7996 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  d )  <_  B )
9834, 43, 41, 46, 97ltletrd 8298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <  B )
9934, 41, 98ltled 7994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <_  B )
100 elicc2 9842 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( Q  +  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( Q  +  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  /\  ( Q  +  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
10135, 41, 100syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  /\  ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  <_  B ) ) )
10234, 40, 99, 101mpbir3and 1165 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B ) )
10316adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
104 fveq2 5468 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
105104eleq1d 2226 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  e.  RR ) )
106105, 75, 102rspcdva 2821 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  e.  RR )
107 breq2 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( Q  <  y  <->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
108 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
109108breq2d 3977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  Q
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) ) ) )
110107, 109imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( Q  <  y  ->  ( F `  Q
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) ) ) ) )
111 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Q  ->  (
x  <  y  <->  Q  <  y ) )
11212breq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Q  ->  (
( F `  x
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) )
113111, 112imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Q  ->  (
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( Q  <  y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) ) )
114113ralbidv 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Q  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  -> 
( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( Q  < 
y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) ) )
115 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
116115expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )
117116ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
118117ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )
119114, 118, 9rspcdva 2821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( Q  <  y  ->  ( F `  Q
)  <  ( F `  y ) ) )
120119adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( Q  < 
y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) )
121110, 120, 102rspcdva 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  <  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) ) )
12238, 121mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
123103, 106, 122ltled 7994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  <_  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
124103, 106, 123abssubge0d 11076 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  -  ( F `  Q ) ) )  =  ( ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )
12530recnd 7906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
12633recnd 7906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  CC )
127125, 126pncan2d 8188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q )  =  ( d  / 
2 ) )
128127fveq2d 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  =  ( abs `  (
d  /  2 ) ) )
12932rpge0d 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  0  <_  ( d  /  2
) )
13033, 129absidd 11067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( d  / 
2 ) )  =  ( d  /  2
) )
131128, 130eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  =  ( d  /  2
) )
132131, 45eqbrtrd 3986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  < 
d )
133 fvoveq1 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( abs `  ( z  -  Q ) )  =  ( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) ) )
134133breq1d 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  <->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  /  2
) )  -  Q
) )  <  d
) )
135134imbrov2fvoveq 5849 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <-> 
( ( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )
136 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
1372adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  D )
138137, 102sseldd 3129 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  D )
139135, 136, 138rspcdva 2821 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
140132, 139mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
141124, 140eqbrtrrd 3988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
14211adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
143106, 142, 103ltsub1d 8429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  <  U  <->  ( ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  -  ( F `  Q ) )  < 
( U  -  ( F `  Q )
) ) )
144141, 143mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  <  U )
145 fveq2 5468 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
146145breq1d 3975 . . . . 5  |-  ( w  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  w
)  <  U  <->  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  <  U
) )
147146, 6elrab2 2871 . . . 4  |-  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L  <->  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  /\  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  <  U ) )
148102, 144, 147sylanbrc 414 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L )
149 breq2 3969 . . . 4  |-  ( r  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( Q  <  r  <->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
150149rspcev 2816 . . 3  |-  ( ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L  /\  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
151148, 38, 150syl2anc 409 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
15223, 151rexlimddv 2579 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439    C_ wss 3102   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732    + caddc 7735   RR*cxr 7911    < clt 7912    <_ cle 7913    - cmin 8046    / cdiv 8545   2c2 8884   RR+crp 9560   [,]cicc 9795   abscabs 10897   -cn->ccncf 12968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-map 6595  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-icc 9799  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-cncf 12969
This theorem is referenced by:  ivthinclemlr  13026
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