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Theorem ivthinclemlopn 13408
Description: Lemma for ivthinc 13415. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivthinc.i  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
ivthinclem.l  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
ivthinclem.r  |-  R  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  U  <  ( F `  w ) }
ivthinclemlopn.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  L )
Assertion
Ref Expression
ivthinclemlopn  |-  ( ph  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
Distinct variable groups:    w, A    x, A, y    w, B    x, B, y    w, F    x, F, y    L, r    Q, r    w, Q    x, Q, y    w, U    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( w, r)    A( r)    B( r)    D( x, y, w, r)    R( x, y, w, r)    U( x, y, r)    F( r)    L( x, y, w)

Proof of Theorem ivthinclemlopn
Dummy variables  z  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
2 ivth.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
3 ivthinclemlopn.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  L )
4 fveq2 5496 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  Q  ->  ( F `  w )  =  ( F `  Q ) )
54breq1d 3999 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Q  ->  (
( F `  w
)  <  U  <->  ( F `  Q )  <  U
) )
6 ivthinclem.l . . . . . . 7  |-  L  =  { w  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  w )  <  U }
75, 6elrab2 2889 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  L  <->  ( Q  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  Q )  <  U
) )
83, 7sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  /\  ( F `  Q )  <  U
) )
98simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( A [,] B ) )
102, 9sseldd 3148 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  D )
11 ivth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
12 fveq2 5496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Q ) )
1312eleq1d 2239 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  Q )  e.  RR ) )
14 ivth.8 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1514ralrimiva 2543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
1613, 15, 9rspcdva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  RR )
1711, 16resubcld 8300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  -  ( F `  Q )
)  e.  RR )
188simprd 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  <  U )
1916, 11posdifd 8451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  <  U  <->  0  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
2018, 19mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
2117, 20elrpd 9650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  -  ( F `  Q )
)  e.  RR+ )
22 cncfi 13359 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  Q  e.  D  /\  ( U  -  ( F `  Q ) )  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
231, 10, 21, 22syl3anc 1233 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  D  ( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
26 elicc2 9895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) ) )
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  RR  /\  A  <_  Q  /\  Q  <_  B ) )
2928simp1d 1004 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  e.  RR )
31 simprl 526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
3231rphalfcld 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  RR+ )
3332rpred 9653 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  RR )
3430, 33readdcld 7949 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  RR )
3524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
3628simp2d 1005 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  Q )
3736adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  <_  Q )
3830, 32ltaddrpd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
3930, 34, 38ltled 8038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
4035, 30, 34, 37, 39letrd 8043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )
4125adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
4231rpred 9653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
4330, 42readdcld 7949 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  d )  e.  RR )
44 rphalflt 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  RR+  ->  ( d  /  2 )  < 
d )
4531, 44syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  <  d )
4633, 42, 30, 45ltadd2dd 8341 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <  ( Q  +  d ) )
4729ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  Q  e.  RR )
4831adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  d  e.  RR+ )
4948rpred 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  d  e.  RR )
5047, 49resubcld 8300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  e.  RR )
5125ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  e.  RR )
5247, 48ltsubrpd 9686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  <  Q )
5328simp3d 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  <_  B )
5453ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  Q  <_  B )
5550, 47, 51, 52, 54ltletrd 8342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( Q  -  d )  <  B )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  <  ( Q  +  d ) )
5751, 47, 49absdifltd 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  <->  ( ( Q  -  d )  <  B  /\  B  < 
( Q  +  d ) ) ) )
5855, 56, 57mpbir2and 939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( abs `  ( B  -  Q ) )  < 
d )
59 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  B  ->  ( abs `  ( z  -  Q ) )  =  ( abs `  ( B  -  Q )
) )
6059breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  B  ->  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  <->  ( abs `  ( B  -  Q
) )  <  d
) )
6160imbrov2fvoveq 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  B  ->  (
( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )
62 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
6324rexrd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
6425rexrd 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
65 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6624, 25, 65ltled 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
67 ubicc2 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
6863, 64, 66, 67syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
692, 68sseldd 3148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
7069ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  B  e.  D )
7161, 62, 70rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  ( B  -  Q )
)  <  d  ->  ( abs `  ( ( F `  B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
7258, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 B )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
73 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
7473eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7515adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) ( F `  x )  e.  RR )
7668adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
7774, 75, 76rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
7877adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
7916ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
8017ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( U  -  ( F `  Q ) )  e.  RR )
8178, 79, 80absdifltd 11142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  B
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) )  <->  ( (
( F `  Q
)  -  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) ) ) )
8272, 81mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( ( F `  Q )  -  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( F `  B )  /\  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) ) )
8382simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  <  ( ( F `  Q )  +  ( U  -  ( F `
 Q ) ) ) )
8479recnd 7948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  Q )  e.  CC )
8511recnd 7948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
8685ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  e.  CC )
8784, 86pncan3d 8233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( F `  Q
)  +  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  =  U )
8883, 87breqtrd 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  ( F `  B )  <  U )
89 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9089simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
9190ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  <  ( F `  B
) )
9288, 91jca 304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  (
( F `  B
)  <  U  /\  U  <  ( F `  B ) ) )
9311ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  U  e.  RR )
94 ltnsym2 8010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  -.  ( ( F `
 B )  < 
U  /\  U  <  ( F `  B ) ) )
9578, 93, 94syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  /\  B  <  ( Q  +  d ) )  ->  -.  ( ( F `  B )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9692, 95pm2.65da 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  -.  B  <  ( Q  +  d ) )
9743, 41, 96nltled 8040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  d )  <_  B )
9834, 43, 41, 46, 97ltletrd 8342 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <  B )
9934, 41, 98ltled 8038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  <_  B )
100 elicc2 9895 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( Q  +  ( d  /  2
) )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( Q  +  ( d  /  2
) )  e.  RR  /\  A  <_  ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  /\  ( Q  +  (
d  /  2 ) )  <_  B )
) )
10135, 41, 100syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <_  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  /\  ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  <_  B ) ) )
10234, 40, 99, 101mpbir3and 1175 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B ) )
10316adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  e.  RR )
104 fveq2 5496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
105104eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  e.  RR ) )
106105, 75, 102rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  e.  RR )
107 breq2 3993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( Q  <  y  <->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
108 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
109108breq2d 4001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  Q
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) ) ) )
110107, 109imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( Q  <  y  ->  ( F `  Q
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) ) ) ) )
111 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Q  ->  (
x  <  y  <->  Q  <  y ) )
11212breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Q  ->  (
( F `  x
)  <  ( F `  y )  <->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) )
113111, 112imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Q  ->  (
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  ( Q  <  y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) ) )
114113ralbidv 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Q  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  -> 
( F `  x
)  <  ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( Q  < 
y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) ) )
115 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  x  <  y ) )  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)
116115expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )
117116ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
118117ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )
119114, 118, 9rspcdva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( Q  <  y  ->  ( F `  Q
)  <  ( F `  y ) ) )
120119adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( Q  < 
y  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  y )
) )
121110, 120, 102rspcdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  <  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) ) )
12238, 121mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  <  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
123103, 106, 122ltled 8038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  Q )  <_  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
124103, 106, 123abssubge0d 11140 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  -  ( F `  Q ) ) )  =  ( ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )
12530recnd 7948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
12633recnd 7948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
d  /  2 )  e.  CC )
127125, 126pncan2d 8232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q )  =  ( d  / 
2 ) )
128127fveq2d 5500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  =  ( abs `  (
d  /  2 ) ) )
12932rpge0d 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  0  <_  ( d  /  2
) )
13033, 129absidd 11131 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( d  / 
2 ) )  =  ( d  /  2
) )
131128, 130eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  =  ( d  /  2
) )
132131, 45eqbrtrd 4011 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  / 
2 ) )  -  Q ) )  < 
d )
133 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( abs `  ( z  -  Q ) )  =  ( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) ) )
134133breq1d 3999 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  <->  ( abs `  ( ( Q  +  ( d  /  2
) )  -  Q
) )  <  d
) )
135134imbrov2fvoveq 5878 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )  <-> 
( ( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )
136 simprr 527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
1372adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  D )
138137, 102sseldd 3148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  D )
139135, 136, 138rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( Q  +  ( d  /  2 ) )  -  Q ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) )
140132, 139mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  -  ( F `  Q ) ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
141124, 140eqbrtrrd 4013 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  -  ( F `
 Q ) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) )
14211adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  U  e.  RR )
143106, 142, 103ltsub1d 8473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  <  U  <->  ( ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  -  ( F `  Q ) )  < 
( U  -  ( F `  Q )
) ) )
144141, 143mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  <  U )
145 fveq2 5496 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( Q  +  (
d  /  2 ) ) ) )
146145breq1d 3999 . . . . 5  |-  ( w  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  (
( F `  w
)  <  U  <->  ( F `  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) )  <  U
) )
147146, 6elrab2 2889 . . . 4  |-  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L  <->  ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  ( A [,] B )  /\  ( F `  ( Q  +  ( d  / 
2 ) ) )  <  U ) )
148102, 144, 147sylanbrc 415 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L )
149 breq2 3993 . . . 4  |-  ( r  =  ( Q  +  ( d  /  2
) )  ->  ( Q  <  r  <->  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2 ) ) ) )
150149rspcev 2834 . . 3  |-  ( ( ( Q  +  ( d  /  2 ) )  e.  L  /\  Q  <  ( Q  +  ( d  /  2
) ) )  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
151148, 38, 150syl2anc 409 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  D  ( ( abs `  ( z  -  Q ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  Q )
) )  <  ( U  -  ( F `  Q ) ) ) ) )  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
15223, 151rexlimddv 2592 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  L  Q  <  r )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452    C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774    + caddc 7777   RR*cxr 7953    < clt 7954    <_ cle 7955    - cmin 8090    / cdiv 8589   2c2 8929   RR+crp 9610   [,]cicc 9848   abscabs 10961   -cn->ccncf 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-icc 9852  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-cncf 13352
This theorem is referenced by:  ivthinclemlr  13409
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