Theorem ivthinclemlopn 13408

Description: Lemma for ivthinc 13415. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivthinc.i	|- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
ivthinclem.l	|- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
ivthinclem.r	|- R = { w e. ( A [,] B ) | U < ( F ` w ) }
ivthinclemlopn.q	|- ( ph -> Q e. L )

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlopn	|- ( ph -> E. r e. L Q < r )

Distinct variable groups:   w, A   x, A, y   w, B   x, B, y   w, F   x, F, y   L, r   Q, r   w, Q   x, Q, y   w, U   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( w, r)   A( r)   B( r)   D( x, y, w, r)   R( x, y, w, r)   U( x, y, r)   F( r)   L( x, y, w)

Proof of Theorem ivthinclemlopn

Dummy variables z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . 3 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
2		ivth.5	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
3		ivthinclemlopn.q	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. L )
4		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( w = Q -> ( F ` w ) = ( F ` Q ) )
5	4	breq1d 3999	. . . . . . 7 |- ( w = Q -> ( ( F ` w ) < U <-> ( F ` Q ) < U ) )
6		ivthinclem.l	. . . . . . 7 |- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
7	5, 6	elrab2 2889	. . . . . 6 |- ( Q e. L <-> ( Q e. ( A [,] B ) /\ ( F ` Q ) < U ) )
8	3, 7	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( A [,] B ) /\ ( F ` Q ) < U ) )
9	8	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( A [,] B ) )
10	2, 9	sseldd 3148	. . 3 |- ( ph -> Q e. D )
11		ivth.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
12		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( x = Q -> ( F ` x ) = ( F ` Q ) )
13	12	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = Q -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` Q ) e. RR ) )
14		ivth.8	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
15	14	ralrimiva 2543	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
16	13, 15, 9	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` Q ) e. RR )
17	11, 16	resubcld 8300	. . . 4 |- ( ph -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR )
18	8	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` Q ) < U )
19	16, 11	posdifd 8451	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) < U <-> 0 < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
20	18, 19	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( U - ( F ` Q ) ) )
21	17, 20	elrpd 9650	. . 3 |- ( ph -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR+ )
22		cncfi 13359	. . 3 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ Q e. D /\ ( U - ( F ` Q ) ) e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
23	1, 10, 21, 22	syl3anc 1233	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
24		ivth.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
25		ivth.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
26		elicc2 9895	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( Q e. ( A [,] B ) <-> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q e. ( A [,] B ) <-> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) ) )
28	9, 27	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) )
29	28	simp1d 1004	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. RR )
30	29	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q e. RR )
31		simprl 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
32	31	rphalfcld 9666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR+ )
33	32	rpred 9653	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR )
34	30, 33	readdcld 7949	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR )
35	24	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A e. RR )
36	28	simp2d 1005	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ Q )
37	36	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A <_ Q )
38	30, 32	ltaddrpd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) )
39	30, 34, 38	ltled 8038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q <_ ( Q + ( d / 2 ) ) )
40	35, 30, 34, 37, 39	letrd 8043	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) )
41	25	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> B e. RR )
42	31	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> d e. RR )
43	30, 42	readdcld 7949	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + d ) e. RR )
44		rphalflt 9640	. . . . . . . . 9 |- ( d e. RR+ -> ( d / 2 ) < d )
45	31, 44	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) < d )
46	33, 42, 30, 45	ltadd2dd 8341	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) < ( Q + d ) )
47	29	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> Q e. RR )
48	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> d e. RR+ )
49	48	rpred 9653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> d e. RR )
50	47, 49	resubcld 8300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) e. RR )
51	25	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B e. RR )
52	47, 48	ltsubrpd 9686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) < Q )
53	28	simp3d 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Q <_ B )
54	53	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> Q <_ B )
55	50, 47, 51, 52, 54	ltletrd 8342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) < B )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B < ( Q + d ) )
57	51, 47, 49	absdifltd 11142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d <-> ( ( Q - d ) < B /\ B < ( Q + d ) ) ) )
58	55, 56, 57	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( abs ` ( B - Q ) ) < d )
59		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = B -> ( abs ` ( z - Q ) ) = ( abs ` ( B - Q ) ) )
60	59	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = B -> ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d <-> ( abs ` ( B - Q ) ) < d ) )
61	60	imbrov2fvoveq 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = B -> ( ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) <-> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
62		simplrr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
63	24	rexrd 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR* )
64	25	rexrd 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR* )
65		ivth.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A < B )
66	24, 25, 65	ltled 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A <_ B )
67		ubicc2 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )
68	63, 64, 66, 67	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
69	2, 68	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. D )
70	69	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B e. D )
71	61, 62, 70	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
72	58, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
73		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
74	73	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` B ) e. RR ) )
75	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
76	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> B e. ( A [,] B ) )
77	74, 75, 76	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
78	77	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
79	16	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` Q ) e. RR )
80	17	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR )
81	78, 79, 80	absdifltd 11142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) <-> ( ( ( F ` Q ) - ( U - ( F ` Q ) ) ) < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) )
82	72, 81	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( ( F ` Q ) - ( U - ( F ` Q ) ) ) < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
83	82	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) )
84	79	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` Q ) e. CC )
85	11	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. CC )
86	85	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U e. CC )
87	84, 86	pncan3d 8233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) = U )
88	83, 87	breqtrd 4015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) < U )
89		ivth.9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
90	89	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U < ( F ` B ) )
91	90	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U < ( F ` B ) )
92	88, 91	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
93	11	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U e. RR )
94		ltnsym2 8010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ U e. RR ) -> -. ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
95	78, 93, 94	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> -. ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
96	92, 95	pm2.65da 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> -. B < ( Q + d ) )
97	43, 41, 96	nltled 8040	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + d ) <_ B )
98	34, 43, 41, 46, 97	ltletrd 8342	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) < B )
99	34, 41, 98	ltled 8038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B )
100		elicc2 9895	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) /\ ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
101	35, 41, 100	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) /\ ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
102	34, 40, 99, 101	mpbir3and 1175	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) )
103	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) e. RR )
104		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
105	104	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) e. RR ) )
106	105, 75, 102	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) e. RR )
107		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( Q < y <-> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
108		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
109	108	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` Q ) < ( F ` y ) <-> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) )
110	107, 109	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) <-> ( Q < ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) ) )
111		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Q -> ( x < y <-> Q < y ) )
112	12	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Q -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
113	111, 112	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Q -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) ) )
114	113	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Q -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) ) )
115		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
116	115	expr 373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
117	116	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
118	117	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
119	114, 118, 9	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
120	119	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
121	110, 120, 102	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q < ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) )
122	38, 121	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
123	103, 106, 122	ltled 8038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) <_ ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
124	103, 106, 123	abssubge0d 11140	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) )
125	30	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q e. CC )
126	33	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. CC )
127	125, 126	pncan2d 8232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) = ( d / 2 ) )
128	127	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) = ( abs ` ( d / 2 ) ) )
129	32	rpge0d 9657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( d / 2 ) )
130	33, 129	absidd 11131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( d / 2 ) ) = ( d / 2 ) )
131	128, 130	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) = ( d / 2 ) )
132	131, 45	eqbrtrd 4011	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d )
133		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( abs ` ( z - Q ) ) = ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) )
134	133	breq1d 3999	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d <-> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d ) )
135	134	imbrov2fvoveq 5878	. . . . . . . 8 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) <-> ( ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
136		simprr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
137	2	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ D )
138	137, 102	sseldd 3148	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. D )
139	135, 136, 138	rspcdva 2839	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
140	132, 139	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
141	124, 140	eqbrtrrd 4013	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
142	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> U e. RR )
143	106, 142, 103	ltsub1d 8473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U <-> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
144	141, 143	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U )
145		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( w = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
146	145	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( w = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` w ) < U <-> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U ) )
147	146, 6	elrab2 2889	. . . 4 |- ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. L <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) /\ ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U ) )
148	102, 144, 147	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. L )
149		breq2 3993	. . . 4 |- ( r = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( Q < r <-> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
150	149	rspcev 2834	. . 3 |- ( ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. L /\ Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) -> E. r e. L Q < r )
151	148, 38, 150	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> E. r e. L Q < r )
152	23, 151	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> E. r e. L Q < r )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   + caddc 7777   RR*cxr 7953   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   2c2 8929   RR+crp 9610   [,]cicc 9848   abscabs 10961   -cn->ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-icc 9852  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-cncf 13352

This theorem is referenced by:  ivthinclemlr  13409