Theorem ivthinclemlopn 15737

Description: Lemma for ivthinc 15744. The lower cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivthinc.i	|- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
ivthinclem.l	|- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
ivthinclem.r	|- R = { w e. ( A [,] B ) | U < ( F ` w ) }
ivthinclemlopn.q	|- ( ph -> Q e. L )

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlopn	|- ( ph -> E. r e. L Q < r )

Distinct variable groups:   w, A   x, A, y   w, B   x, B, y   w, F   x, F, y   L, r   Q, r   w, Q   x, Q, y   w, U   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( w, r)   A( r)   B( r)   D( x, y, w, r)   R( x, y, w, r)   U( x, y, r)   F( r)   L( x, y, w)

Proof of Theorem ivthinclemlopn

Dummy variables z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . 3 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
2		ivth.5	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
3		ivthinclemlopn.q	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. L )
4		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( w = Q -> ( F ` w ) = ( F ` Q ) )
5	4	breq1d 4140	. . . . . . 7 |- ( w = Q -> ( ( F ` w ) < U <-> ( F ` Q ) < U ) )
6		ivthinclem.l	. . . . . . 7 |- L = { w e. ( A [,] B ) | ( F ` w ) < U }
7	5, 6	elrab2 2985	. . . . . 6 |- ( Q e. L <-> ( Q e. ( A [,] B ) /\ ( F ` Q ) < U ) )
8	3, 7	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( A [,] B ) /\ ( F ` Q ) < U ) )
9	8	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( A [,] B ) )
10	2, 9	sseldd 3249	. . 3 |- ( ph -> Q e. D )
11		ivth.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
12		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = Q -> ( F ` x ) = ( F ` Q ) )
13	12	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( x = Q -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` Q ) e. RR ) )
14		ivth.8	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
15	14	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
16	13, 15, 9	rspcdva 2934	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` Q ) e. RR )
17	11, 16	resubcld 8708	. . . 4 |- ( ph -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR )
18	8	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` Q ) < U )
19	16, 11	posdifd 8860	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) < U <-> 0 < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
20	18, 19	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( U - ( F ` Q ) ) )
21	17, 20	elrpd 10094	. . 3 |- ( ph -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR+ )
22		cncfi 15679	. . 3 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ Q e. D /\ ( U - ( F ` Q ) ) e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
23	1, 10, 21, 22	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
24		ivth.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
25		ivth.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
26		elicc2 10340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( Q e. ( A [,] B ) <-> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q e. ( A [,] B ) <-> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) ) )
28	9, 27	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q e. RR /\ A <_ Q /\ Q <_ B ) )
29	28	simp1d 1040	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q e. RR )
31		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> d e. RR+ )
32	31	rphalfcld 10110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR+ )
33	32	rpred 10097	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. RR )
34	30, 33	readdcld 8355	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR )
35	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A e. RR )
36	28	simp2d 1041	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ Q )
37	36	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A <_ Q )
38	30, 32	ltaddrpd 10131	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) )
39	30, 34, 38	ltled 8445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q <_ ( Q + ( d / 2 ) ) )
40	35, 30, 34, 37, 39	letrd 8450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) )
41	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> B e. RR )
42	31	rpred 10097	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> d e. RR )
43	30, 42	readdcld 8355	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + d ) e. RR )
44		rphalflt 10084	. . . . . . . . 9 |- ( d e. RR+ -> ( d / 2 ) < d )
45	31, 44	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) < d )
46	33, 42, 30, 45	ltadd2dd 8750	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) < ( Q + d ) )
47	29	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> Q e. RR )
48	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> d e. RR+ )
49	48	rpred 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> d e. RR )
50	47, 49	resubcld 8708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) e. RR )
51	25	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B e. RR )
52	47, 48	ltsubrpd 10130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) < Q )
53	28	simp3d 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Q <_ B )
54	53	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> Q <_ B )
55	50, 47, 51, 52, 54	ltletrd 8751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( Q - d ) < B )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B < ( Q + d ) )
57	51, 47, 49	absdifltd 11944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d <-> ( ( Q - d ) < B /\ B < ( Q + d ) ) ) )
58	55, 56, 57	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( abs ` ( B - Q ) ) < d )
59		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = B -> ( abs ` ( z - Q ) ) = ( abs ` ( B - Q ) ) )
60	59	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = B -> ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d <-> ( abs ` ( B - Q ) ) < d ) )
61	60	imbrov2fvoveq 6110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = B -> ( ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) <-> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
62		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
63	24	rexrd 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR* )
64	25	rexrd 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR* )
65		ivth.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A < B )
66	24, 25, 65	ltled 8445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A <_ B )
67		ubicc2 10387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )
68	63, 64, 66, 67	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
69	2, 68	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. D )
70	69	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> B e. D )
71	61, 62, 70	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( B - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
72	58, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
73		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
74	73	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` B ) e. RR ) )
75	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
76	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> B e. ( A [,] B ) )
77	74, 75, 76	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
79	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` Q ) e. RR )
80	17	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( U - ( F ` Q ) ) e. RR )
81	78, 79, 80	absdifltd 11944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` B ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) <-> ( ( ( F ` Q ) - ( U - ( F ` Q ) ) ) < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) )
82	72, 81	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( ( F ` Q ) - ( U - ( F ` Q ) ) ) < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
83	82	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) < ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) )
84	79	recnd 8354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` Q ) e. CC )
85	11	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. CC )
86	85	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U e. CC )
87	84, 86	pncan3d 8640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( F ` Q ) + ( U - ( F ` Q ) ) ) = U )
88	83, 87	breqtrd 4156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( F ` B ) < U )
89		ivth.9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
90	89	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U < ( F ` B ) )
91	90	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U < ( F ` B ) )
92	88, 91	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
93	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> U e. RR )
94		ltnsym2 8416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ U e. RR ) -> -. ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
95	78, 93, 94	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) /\ B < ( Q + d ) ) -> -. ( ( F ` B ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
96	92, 95	pm2.65da 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> -. B < ( Q + d ) )
97	43, 41, 96	nltled 8447	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + d ) <_ B )
98	34, 43, 41, 46, 97	ltletrd 8751	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) < B )
99	34, 41, 98	ltled 8445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B )
100		elicc2 10340	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) /\ ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
101	35, 41, 100	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. RR /\ A <_ ( Q + ( d / 2 ) ) /\ ( Q + ( d / 2 ) ) <_ B ) ) )
102	34, 40, 99, 101	mpbir3and 1211	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) )
103	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) e. RR )
104		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
105	104	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) e. RR ) )
106	105, 75, 102	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) e. RR )
107		breq2 4134	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( Q < y <-> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
108		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
109	108	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` Q ) < ( F ` y ) <-> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) )
110	107, 109	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) <-> ( Q < ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) ) )
111		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Q -> ( x < y <-> Q < y ) )
112	12	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Q -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
113	111, 112	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Q -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) ) )
114	113	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Q -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) ) )
115		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( y e. ( A [,] B ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) < ( F ` y ) )
116	115	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
117	116	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
118	117	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
119	114, 118, 9	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
120	119	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( Q < y -> ( F ` Q ) < ( F ` y ) ) )
121	110, 120, 102	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q < ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) ) )
122	38, 121	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) < ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
123	103, 106, 122	ltled 8445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` Q ) <_ ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
124	103, 106, 123	abssubge0d 11942	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) )
125	30	recnd 8354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> Q e. CC )
126	33	recnd 8354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( d / 2 ) e. CC )
127	125, 126	pncan2d 8639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) = ( d / 2 ) )
128	127	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) = ( abs ` ( d / 2 ) ) )
129	32	rpge0d 10101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( d / 2 ) )
130	33, 129	absidd 11933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( d / 2 ) ) = ( d / 2 ) )
131	128, 130	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) = ( d / 2 ) )
132	131, 45	eqbrtrd 4152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d )
133		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( abs ` ( z - Q ) ) = ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) )
134	133	breq1d 4140	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d <-> ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d ) )
135	134	imbrov2fvoveq 6110	. . . . . . . 8 |- ( z = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) <-> ( ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) )
136		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
137	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ D )
138	137, 102	sseldd 3249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. D )
139	135, 136, 138	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( Q + ( d / 2 ) ) - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
140	132, 139	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
141	124, 140	eqbrtrrd 4154	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) )
142	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> U e. RR )
143	106, 142, 103	ltsub1d 8882	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U <-> ( ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) - ( F ` Q ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) )
144	141, 143	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U )
145		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( w = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
146	145	breq1d 4140	. . . . 5 |- ( w = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( ( F ` w ) < U <-> ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U ) )
147	146, 6	elrab2 2985	. . . 4 |- ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. L <-> ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. ( A [,] B ) /\ ( F ` ( Q + ( d / 2 ) ) ) < U ) )
148	102, 144, 147	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> ( Q + ( d / 2 ) ) e. L )
149		breq2 4134	. . . 4 |- ( r = ( Q + ( d / 2 ) ) -> ( Q < r <-> Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) )
150	149	rspcev 2929	. . 3 |- ( ( ( Q + ( d / 2 ) ) e. L /\ Q < ( Q + ( d / 2 ) ) ) -> E. r e. L Q < r )
151	148, 38, 150	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ph /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. D ( ( abs ` ( z - Q ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` Q ) ) ) < ( U - ( F ` Q ) ) ) ) ) -> E. r e. L Q < r )
152	23, 151	rexlimddv 2673	1 |- ( ph -> E. r e. L Q < r )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   RR*cxr 8359   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9002   2c2 9355   RR+crp 10054   [,]cicc 10293   abscabs 11763   -cn->ccncf 15671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-icc 10297  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-cncf 15672

This theorem is used by:  ivthinclemlr  15738