Theorem ltnsym2 8145

Description: 'Less than' is antisymmetric and irreflexive. (Contributed by NM, 13-Aug-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem ltnsym2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 8132	. 2 ⊢ < Or ℝ
2		so2nr 4366	. 2 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴))
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043   Or wor 4340  ℝcr 7906   < clt 8089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094

This theorem is referenced by:  reapltxor  8644  msqge0  8671  mulge0  8674  ivthinclemlopn  15026  lgsquadlem3  15474