Theorem ltletr 8415

Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltletr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem ltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> B <_ C )
2		simpl2 1032	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> B e. RR )
3		simpl3 1033	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> C e. RR )
4		lenlt 8401	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> -. C < B )
7		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> A < B )
8		axltwlin 8393	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( A < C \/ C < B ) ) )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> ( A < B -> ( A < C \/ C < B ) ) )
10	7, 9	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> ( A < C \/ C < B ) )
11	6, 10	ecased 1390	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> A < C )
12	11	ex 115	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  ltletri  8433  ltletrd  8752  ltleadd  8775  nngt0  9331  nnrecgt0  9344  elnnnn0c  9612  elnnz1  9671  zltp1le  9703  uz3m2nn  9982  ledivge1le  10137  addlelt  10179  zltaddlt1le  10420  elfz1b  10507  elfzodifsumelfzo  10629  ssfzo12bi  10653  swrdswrd  11491  swrdccatin1  11511  cos01gt0  12546  oddge22np1  12664  nn0seqcvgd  12835  coprm  12939  prmlem1  13242  prmlem2  13254  logdivlti  16033  gausslemma2dlem1a  16275  lealltlt1  16849