Theorem ltletr 8009

Description: Transitive law. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltletr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem ltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 527	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> B <_ C )
2		simpl2 996	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> B e. RR )
3		simpl3 997	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> C e. RR )
4		lenlt 7995	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
6	1, 5	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> -. C < B )
7		simprl 526	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> A < B )
8		axltwlin 7987	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( A < C \/ C < B ) ) )
9	8	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> ( A < B -> ( A < C \/ C < B ) ) )
10	7, 9	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> ( A < C \/ C < B ) )
11	6, 10	ecased 1344	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( A < B /\ B <_ C ) ) -> A < C )
12	11	ex 114	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by:  ltletri  8026  ltletrd  8342  ltleadd  8365  nngt0  8903  nnrecgt0  8916  elnnnn0c  9180  elnnz1  9235  zltp1le  9266  uz3m2nn  9532  ledivge1le  9683  addlelt  9725  zltaddlt1le  9964  elfz1b  10046  elfzodifsumelfzo  10157  ssfzo12bi  10181  cos01gt0  11725  oddge22np1  11840  nn0seqcvgd  11995  coprm  12098  logdivlti  13596