Theorem lgsquadlem3 15287

Description: Lemma for lgsquad 15288. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlem3	|- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, N, y   x, Q, y   x, S   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlem3

Dummy variables w z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.1	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P =/= Q )
4	3	necomd 2453	. . . . 5 |- ( ph -> Q =/= P )
5		lgsquad.5	. . . . 5 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.4	. . . . 5 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
7		eleq1w 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x e. ( 1 ... M ) <-> z e. ( 1 ... M ) ) )
8		eleq1w 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y e. ( 1 ... N ) <-> w e. ( 1 ... N ) ) )
9	7, 8	bi2anan9 606	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( z e. ( 1 ... M ) /\ w e. ( 1 ... N ) ) ) )
10	9	biancomd 271	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) ) )
11		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x x. Q ) = ( z x. Q ) )
12		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y x. P ) = ( w x. P ) )
13	11, 12	breqan12d 4049	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) <-> ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) )
14	10, 13	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) <-> ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) ) )
15	14	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( y = w /\ x = z ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) <-> ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) ) )
16	15	cbvopabv 4105	. . . . 5 |- { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. w , z >. | ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) }
17	1, 2, 4, 5, 6, 16	lgsquadlem2 15286	. . . 4 |- ( ph -> ( P /L Q ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
18		relopabv 4790	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
19		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
20		1zzd 9350	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
21	2, 6	gausslemma2dlem0b 15258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
22	21	nnzd 9444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	20, 22	fzfigd 10508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
24	1, 5	gausslemma2dlem0b 15258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
25	24	nnzd 9444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
26	20, 25	fzfigd 10508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
27		elfznn 10126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. NN )
28	27	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. NN )
29	1	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Q e. Prime )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. Prime )
31		prmnn 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. Prime -> Q e. NN )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. NN )
33	28, 32	nnmulcld 9036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. NN )
34	33	nnzd 9444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. ZZ )
35		elfznn 10126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. NN )
36	35	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. NN )
37	2	gausslemma2dlem0a 15257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. NN )
39	36, 38	nnmulcld 9036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. NN )
40	39	nnzd 9444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. ZZ )
41		zdclt 9400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x x. Q ) e. ZZ /\ ( y x. P ) e. ZZ ) -> DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
42	34, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
43	42	ralrimivva 2579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... N )DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
44	19, 23, 26, 43	opabfi 6997	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin )
45		cnven 6867	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } /\ { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin ) -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
46	18, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
47		cnvopab 5071	. . . . . . 7 |- `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
48	46, 47	breqtrdi 4074	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
49	1, 2, 4, 5, 6, 16	lgsquadlemsfi 15283	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin )
50		hashen 10861	. . . . . . 7 |- ( ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin /\ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin ) -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
51	44, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
52	48, 51	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
53	52	oveq2d 5938	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
54	17, 53	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ph -> ( P /L Q ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
55		lgsquad.6	. . . 4 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
56	2, 1, 3, 6, 5, 55	lgsquadlem2 15286	. . 3 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) )
57	54, 56	oveq12d 5940	. 2 |- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) x. ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) ) )
58		neg1cn 9092	. . . 4 |- -u 1 e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
60	2, 1, 3, 6, 5, 55	lgsquadlemsfi 15283	. . . 4 |- ( ph -> S e. Fin )
61		hashcl 10858	. . . 4 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
62	60, 61	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` S ) e. NN0 )
63		hashcl 10858	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) e. NN0 )
64	44, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) e. NN0 )
65	59, 62, 64	expaddd 10752	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) ) = ( ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) x. ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) ) )
66	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN )
67	66	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ZZ )
68		prmz 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
69	30, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. ZZ )
70		peano2zm 9361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q e. ZZ -> ( Q - 1 ) e. ZZ )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. ZZ )
72	66	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. RR )
73	71	zred 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. RR )
74		prmuz2 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Q e. Prime -> Q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
75	30, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		uz2m1nn 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( Q - 1 ) e. NN )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. NN )
78	77	nnrpd 9766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. RR+ )
79		rphalflt 9755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Q - 1 ) e. RR+ -> ( ( Q - 1 ) / 2 ) < ( Q - 1 ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q - 1 ) / 2 ) < ( Q - 1 ) )
81	5, 80	eqbrtrid 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N < ( Q - 1 ) )
82	72, 73, 81	ltled 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N <_ ( Q - 1 ) )
83		eluz2 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( Q - 1 ) e. ZZ /\ N <_ ( Q - 1 ) ) )
84	67, 71, 82, 83	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
85		fzss2 10136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
87		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ( 1 ... N ) )
88	86, 87	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
89		fzm1ndvds 12004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Q e. NN /\ y e. ( 1 ... ( Q - 1 ) ) ) -> -. Q || y )
90	32, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || y )
91	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q =/= P )
92	2	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. Prime )
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. Prime )
94		prmrp 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q e. Prime /\ P e. Prime ) -> ( ( Q gcd P ) = 1 <-> Q =/= P ) )
95	30, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q gcd P ) = 1 <-> Q =/= P ) )
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q gcd P ) = 1 )
97		prmz 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
98	93, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. ZZ )
99		elfzelz 10097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. ZZ )
100	99	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ZZ )
101		coprmdvds 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Q || ( P x. y ) /\ ( Q gcd P ) = 1 ) -> Q || y ) )
102	69, 98, 100, 101	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q || ( P x. y ) /\ ( Q gcd P ) = 1 ) -> Q || y ) )
103	96, 102	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q || ( P x. y ) -> Q || y ) )
104	90, 103	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || ( P x. y ) )
105	38	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. CC )
106	36	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. CC )
107	105, 106	mulcomd 8046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( P x. y ) = ( y x. P ) )
108	107	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q || ( P x. y ) <-> Q || ( y x. P ) ) )
109	104, 108	mtbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || ( y x. P ) )
110		elfzelz 10097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. ZZ )
111	110	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. ZZ )
112		dvdsmul2 11963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> Q || ( x x. Q ) )
113	111, 69, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q || ( x x. Q ) )
114		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x x. Q ) = ( y x. P ) -> ( Q || ( x x. Q ) <-> Q || ( y x. P ) ) )
115	113, 114	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) = ( y x. P ) -> Q || ( y x. P ) ) )
116	115	necon3bd 2410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( -. Q || ( y x. P ) -> ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) ) )
117	109, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) )
118		nnq 9704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x x. Q ) e. NN -> ( x x. Q ) e. QQ )
119	33, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. QQ )
120		nnq 9704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y x. P ) e. NN -> ( y x. P ) e. QQ )
121	39, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. QQ )
122		qlttri2 9712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x x. Q ) e. QQ /\ ( y x. P ) e. QQ ) -> ( ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) <-> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
123	119, 121, 122	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) <-> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
124	117, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
125	124	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
126	125	pm4.71rd 394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) ) )
127		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) <-> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
128	126, 127	bitr2di 197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) )
129	128	opabbidv 4099	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) } )
130		unopab 4112	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
131	55	uneq2i 3314	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } )
132		andi 819	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
133	132	opabbii 4100	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
134	130, 131, 133	3eqtr4i 2227	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
135		df-xp 4669	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) }
136	129, 134, 135	3eqtr4g 2254	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
137	136	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
138		inopab 4798	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
139	55	ineq2i 3361	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } )
140		anandi 590	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
141	140	opabbii 4100	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
142	138, 139, 141	3eqtr4i 2227	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
143	33	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. RR )
144	39	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. RR )
145		ltnsym2 8115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x x. Q ) e. RR /\ ( y x. P ) e. RR ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
147	146	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
148		imnan 691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> -. ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
149	147, 148	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
150	149	nexdv 1955	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
151	150	nexdv 1955	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. E. x E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
152		opabm 4315	. . . . . . . 8 |- ( E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } <-> E. x E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
153	151, 152	sylnibr 678	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } )
154		notm0 3471	. . . . . . 7 |- ( -. E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = (/) )
155	153, 154	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = (/) )
156	142, 155	eqtrid 2241	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = (/) )
157		hashun 10882	. . . . 5 |- ( ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin /\ S e. Fin /\ ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = (/) ) -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) )
158	44, 60, 156, 157	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) )
159		hashxp 10903	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) )
160	23, 26, 159	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) )
161	21	nnnn0d 9299	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
162		hashfz1 10860	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
163	161, 162	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
164	24	nnnn0d 9299	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
165		hashfz1 10860	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
166	164, 165	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
167	163, 166	oveq12d 5940	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) = ( M x. N ) )
168	160, 167	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( M x. N ) )
169	137, 158, 168	3eqtr3d 2237	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) = ( M x. N ) )
170	169	oveq2d 5938	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )
171	57, 65, 170	3eqtr2d 2235	1 |- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   class class class wbr 4033   {copab 4093   X. cxp 4661   `'ccnv 4662   Rel wrel 4668   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ~~ cen 6797   Fincfn 6799   CCcc 7875   RRcr 7876   1c1 7878   + caddc 7880   x. cmul 7882   < clt 8059   <_ cle 8060   - cmin 8195   -ucneg 8196   / cdiv 8696   NNcn 8987   2c2 9038   NN0cn0 9246   ZZcz 9323   ZZ>=cuz 9598   QQcq 9690   RR+crp 9725   ...cfz 10080   ^cexp 10615  ♯chash 10852   || cdvds 11936   gcd cgcd 12085   Primecprime 12251   /Lclgs 15205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997  ax-addf 7999  ax-mulf 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7048  df-inf 7049  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-fl 10345  df-mod 10400  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-ihash 10853  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-clim 11428  df-sumdc 11503  df-proddc 11700  df-dvds 11937  df-gcd 12086  df-prm 12252  df-phi 12355  df-pc 12430  df-struct 12656  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-iress 12662  df-plusg 12744  df-mulr 12745  df-starv 12746  df-sca 12747  df-vsca 12748  df-ip 12749  df-tset 12750  df-ple 12751  df-ds 12753  df-unif 12754  df-0g 12905  df-igsum 12906  df-topgen 12907  df-iimas 12921  df-qus 12922  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-mhm 13067  df-submnd 13068  df-grp 13111  df-minusg 13112  df-sbg 13113  df-mulg 13226  df-subg 13276  df-nsg 13277  df-eqg 13278  df-ghm 13347  df-cmn 13392  df-abl 13393  df-mgp 13453  df-rng 13465  df-ur 13492  df-srg 13496  df-ring 13530  df-cring 13531  df-oppr 13600  df-dvdsr 13621  df-unit 13622  df-invr 13653  df-dvr 13664  df-rhm 13684  df-nzr 13712  df-subrg 13751  df-domn 13791  df-idom 13792  df-lmod 13821  df-lssm 13885  df-lsp 13919  df-sra 13967  df-rgmod 13968  df-lidl 14001  df-rsp 14002  df-2idl 14032  df-bl 14078  df-mopn 14079  df-fg 14081  df-metu 14082  df-cnfld 14089  df-zring 14123  df-zrh 14146  df-zn 14148  df-lgs 15206

This theorem is referenced by:  lgsquad  15288