Theorem lgsquadlem3 15606

Description: Lemma for lgsquad 15607. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlem3	|- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, N, y   x, Q, y   x, S   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlem3

Dummy variables w z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.1	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P =/= Q )
4	3	necomd 2463	. . . . 5 |- ( ph -> Q =/= P )
5		lgsquad.5	. . . . 5 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.4	. . . . 5 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
7		eleq1w 2267	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x e. ( 1 ... M ) <-> z e. ( 1 ... M ) ) )
8		eleq1w 2267	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y e. ( 1 ... N ) <-> w e. ( 1 ... N ) ) )
9	7, 8	bi2anan9 606	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( z e. ( 1 ... M ) /\ w e. ( 1 ... N ) ) ) )
10	9	biancomd 271	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) ) )
11		oveq1 5961	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x x. Q ) = ( z x. Q ) )
12		oveq1 5961	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y x. P ) = ( w x. P ) )
13	11, 12	breqan12d 4064	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) <-> ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) )
14	10, 13	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) <-> ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) ) )
15	14	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( y = w /\ x = z ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) <-> ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) ) )
16	15	cbvopabv 4121	. . . . 5 |- { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. w , z >. | ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) }
17	1, 2, 4, 5, 6, 16	lgsquadlem2 15605	. . . 4 |- ( ph -> ( P /L Q ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
18		relopabv 4807	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
19		eqid 2206	. . . . . . . . 9 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
20		1zzd 9412	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
21	2, 6	gausslemma2dlem0b 15577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
22	21	nnzd 9507	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	20, 22	fzfigd 10589	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
24	1, 5	gausslemma2dlem0b 15577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
25	24	nnzd 9507	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
26	20, 25	fzfigd 10589	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
27		elfznn 10189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. NN )
28	27	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. NN )
29	1	eldifad 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Q e. Prime )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. Prime )
31		prmnn 12482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. Prime -> Q e. NN )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. NN )
33	28, 32	nnmulcld 9098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. NN )
34	33	nnzd 9507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. ZZ )
35		elfznn 10189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. NN )
36	35	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. NN )
37	2	gausslemma2dlem0a 15576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. NN )
39	36, 38	nnmulcld 9098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. NN )
40	39	nnzd 9507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. ZZ )
41		zdclt 9463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x x. Q ) e. ZZ /\ ( y x. P ) e. ZZ ) -> DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
42	34, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
43	42	ralrimivva 2589	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... N )DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
44	19, 23, 26, 43	opabfi 7047	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin )
45		cnven 6911	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } /\ { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin ) -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
46	18, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
47		cnvopab 5090	. . . . . . 7 |- `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
48	46, 47	breqtrdi 4089	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
49	1, 2, 4, 5, 6, 16	lgsquadlemsfi 15602	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin )
50		hashen 10942	. . . . . . 7 |- ( ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin /\ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin ) -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
51	44, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
52	48, 51	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
53	52	oveq2d 5970	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
54	17, 53	eqtr4d 2242	. . 3 |- ( ph -> ( P /L Q ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
55		lgsquad.6	. . . 4 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
56	2, 1, 3, 6, 5, 55	lgsquadlem2 15605	. . 3 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) )
57	54, 56	oveq12d 5972	. 2 |- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) x. ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) ) )
58		neg1cn 9154	. . . 4 |- -u 1 e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
60	2, 1, 3, 6, 5, 55	lgsquadlemsfi 15602	. . . 4 |- ( ph -> S e. Fin )
61		hashcl 10939	. . . 4 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
62	60, 61	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` S ) e. NN0 )
63		hashcl 10939	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) e. NN0 )
64	44, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) e. NN0 )
65	59, 62, 64	expaddd 10833	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) ) = ( ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) x. ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) ) )
66	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN )
67	66	nnzd 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ZZ )
68		prmz 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
69	30, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. ZZ )
70		peano2zm 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q e. ZZ -> ( Q - 1 ) e. ZZ )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. ZZ )
72	66	nnred 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. RR )
73	71	zred 9508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. RR )
74		prmuz2 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Q e. Prime -> Q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
75	30, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		uz2m1nn 9739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( Q - 1 ) e. NN )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. NN )
78	77	nnrpd 9829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. RR+ )
79		rphalflt 9818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Q - 1 ) e. RR+ -> ( ( Q - 1 ) / 2 ) < ( Q - 1 ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q - 1 ) / 2 ) < ( Q - 1 ) )
81	5, 80	eqbrtrid 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N < ( Q - 1 ) )
82	72, 73, 81	ltled 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N <_ ( Q - 1 ) )
83		eluz2 9667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( Q - 1 ) e. ZZ /\ N <_ ( Q - 1 ) ) )
84	67, 71, 82, 83	syl3anbrc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
85		fzss2 10199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
87		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ( 1 ... N ) )
88	86, 87	sseldd 3196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
89		fzm1ndvds 12217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Q e. NN /\ y e. ( 1 ... ( Q - 1 ) ) ) -> -. Q || y )
90	32, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || y )
91	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q =/= P )
92	2	eldifad 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. Prime )
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. Prime )
94		prmrp 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q e. Prime /\ P e. Prime ) -> ( ( Q gcd P ) = 1 <-> Q =/= P ) )
95	30, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q gcd P ) = 1 <-> Q =/= P ) )
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q gcd P ) = 1 )
97		prmz 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
98	93, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. ZZ )
99		elfzelz 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. ZZ )
100	99	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ZZ )
101		coprmdvds 12464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Q || ( P x. y ) /\ ( Q gcd P ) = 1 ) -> Q || y ) )
102	69, 98, 100, 101	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q || ( P x. y ) /\ ( Q gcd P ) = 1 ) -> Q || y ) )
103	96, 102	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q || ( P x. y ) -> Q || y ) )
104	90, 103	mtod 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || ( P x. y ) )
105	38	nncnd 9063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. CC )
106	36	nncnd 9063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. CC )
107	105, 106	mulcomd 8107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( P x. y ) = ( y x. P ) )
108	107	breq2d 4060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q || ( P x. y ) <-> Q || ( y x. P ) ) )
109	104, 108	mtbid 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || ( y x. P ) )
110		elfzelz 10160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. ZZ )
111	110	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. ZZ )
112		dvdsmul2 12175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> Q || ( x x. Q ) )
113	111, 69, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q || ( x x. Q ) )
114		breq2 4052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x x. Q ) = ( y x. P ) -> ( Q || ( x x. Q ) <-> Q || ( y x. P ) ) )
115	113, 114	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) = ( y x. P ) -> Q || ( y x. P ) ) )
116	115	necon3bd 2420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( -. Q || ( y x. P ) -> ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) ) )
117	109, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) )
118		nnq 9767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x x. Q ) e. NN -> ( x x. Q ) e. QQ )
119	33, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. QQ )
120		nnq 9767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y x. P ) e. NN -> ( y x. P ) e. QQ )
121	39, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. QQ )
122		qlttri2 9775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x x. Q ) e. QQ /\ ( y x. P ) e. QQ ) -> ( ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) <-> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
123	119, 121, 122	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) <-> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
124	117, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
125	124	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
126	125	pm4.71rd 394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) ) )
127		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) <-> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
128	126, 127	bitr2di 197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) )
129	128	opabbidv 4115	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) } )
130		unopab 4128	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
131	55	uneq2i 3326	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } )
132		andi 820	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
133	132	opabbii 4116	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
134	130, 131, 133	3eqtr4i 2237	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
135		df-xp 4686	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) }
136	129, 134, 135	3eqtr4g 2264	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
137	136	fveq2d 5590	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
138		inopab 4815	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
139	55	ineq2i 3373	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } )
140		anandi 590	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
141	140	opabbii 4116	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
142	138, 139, 141	3eqtr4i 2237	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
143	33	nnred 9062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. RR )
144	39	nnred 9062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. RR )
145		ltnsym2 8176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x x. Q ) e. RR /\ ( y x. P ) e. RR ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
147	146	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
148		imnan 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> -. ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
149	147, 148	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
150	149	nexdv 1965	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
151	150	nexdv 1965	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. E. x E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
152		opabm 4332	. . . . . . . 8 |- ( E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } <-> E. x E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
153	151, 152	sylnibr 679	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } )
154		notm0 3483	. . . . . . 7 |- ( -. E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = (/) )
155	153, 154	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = (/) )
156	142, 155	eqtrid 2251	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = (/) )
157		hashun 10963	. . . . 5 |- ( ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin /\ S e. Fin /\ ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = (/) ) -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) )
158	44, 60, 156, 157	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) )
159		hashxp 10984	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) )
160	23, 26, 159	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) )
161	21	nnnn0d 9361	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
162		hashfz1 10941	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
163	161, 162	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
164	24	nnnn0d 9361	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
165		hashfz1 10941	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
166	164, 165	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
167	163, 166	oveq12d 5972	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) = ( M x. N ) )
168	160, 167	eqtrd 2239	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( M x. N ) )
169	137, 158, 168	3eqtr3d 2247	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) = ( M x. N ) )
170	169	oveq2d 5970	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )
171	57, 65, 170	3eqtr2d 2245	1 |- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   =/= wne 2377   \ cdif 3165   u. cun 3166   i^i cin 3167   C_ wss 3168   (/)c0 3462   {csn 3635   class class class wbr 4048   {copab 4109   X. cxp 4678   `'ccnv 4679   Rel wrel 4685   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   ~~ cen 6835   Fincfn 6837   CCcc 7936   RRcr 7937   1c1 7939   + caddc 7941   x. cmul 7943   < clt 8120   <_ cle 8121   - cmin 8256   -ucneg 8257   / cdiv 8758   NNcn 9049   2c2 9100   NN0cn0 9308   ZZcz 9385   ZZ>=cuz 9661   QQcq 9753   RR+crp 9788   ...cfz 10143   ^cexp 10696  ♯chash 10933   || cdvds 12148   gcd cgcd 12324   Primecprime 12479   /Lclgs 15524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058  ax-addf 8060  ax-mulf 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-tp 3643  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-disj 4025  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-of 6168  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-tpos 6341  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-2o 6513  df-oadd 6516  df-er 6630  df-ec 6632  df-qs 6636  df-map 6747  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-sup 7098  df-inf 7099  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-z 9386  df-dec 9518  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715  df-proddc 11912  df-dvds 12149  df-gcd 12325  df-prm 12480  df-phi 12583  df-pc 12658  df-struct 12884  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-starv 12974  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977  df-tset 12978  df-ple 12979  df-ds 12981  df-unif 12982  df-0g 13140  df-igsum 13141  df-topgen 13142  df-iimas 13184  df-qus 13185  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-mhm 13341  df-submnd 13342  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-sbg 13387  df-mulg 13506  df-subg 13556  df-nsg 13557  df-eqg 13558  df-ghm 13627  df-cmn 13672  df-abl 13673  df-mgp 13733  df-rng 13745  df-ur 13772  df-srg 13776  df-ring 13810  df-cring 13811  df-oppr 13880  df-dvdsr 13901  df-unit 13902  df-invr 13933  df-dvr 13944  df-rhm 13964  df-nzr 13992  df-subrg 14031  df-domn 14071  df-idom 14072  df-lmod 14101  df-lssm 14165  df-lsp 14199  df-sra 14247  df-rgmod 14248  df-lidl 14281  df-rsp 14282  df-2idl 14312  df-bl 14358  df-mopn 14359  df-fg 14361  df-metu 14362  df-cnfld 14369  df-zring 14403  df-zrh 14426  df-zn 14428  df-lgs 15525

This theorem is referenced by:  lgsquad  15607