Theorem lgsquadlem3 15814

Description: Lemma for lgsquad 15815. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlem3	|- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, N, y   x, Q, y   x, S   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlem3

Dummy variables w z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.1	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P =/= Q )
4	3	necomd 2488	. . . . 5 |- ( ph -> Q =/= P )
5		lgsquad.5	. . . . 5 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.4	. . . . 5 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
7		eleq1w 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x e. ( 1 ... M ) <-> z e. ( 1 ... M ) ) )
8		eleq1w 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y e. ( 1 ... N ) <-> w e. ( 1 ... N ) ) )
9	7, 8	bi2anan9 610	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( z e. ( 1 ... M ) /\ w e. ( 1 ... N ) ) ) )
10	9	biancomd 271	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) ) )
11		oveq1 6025	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x x. Q ) = ( z x. Q ) )
12		oveq1 6025	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( y x. P ) = ( w x. P ) )
13	11, 12	breqan12d 4104	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) <-> ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) )
14	10, 13	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) <-> ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) ) )
15	14	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( y = w /\ x = z ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) <-> ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) ) )
16	15	cbvopabv 4161	. . . . 5 |- { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. w , z >. | ( ( w e. ( 1 ... N ) /\ z e. ( 1 ... M ) ) /\ ( z x. Q ) < ( w x. P ) ) }
17	1, 2, 4, 5, 6, 16	lgsquadlem2 15813	. . . 4 |- ( ph -> ( P /L Q ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
18		relopabv 4854	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
19		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
20		1zzd 9506	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
21	2, 6	gausslemma2dlem0b 15785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
22	21	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	20, 22	fzfigd 10694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
24	1, 5	gausslemma2dlem0b 15785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
25	24	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
26	20, 25	fzfigd 10694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
27		elfznn 10289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. NN )
28	27	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. NN )
29	1	eldifad 3211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Q e. Prime )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. Prime )
31		prmnn 12687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. Prime -> Q e. NN )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. NN )
33	28, 32	nnmulcld 9192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. NN )
34	33	nnzd 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. ZZ )
35		elfznn 10289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. NN )
36	35	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. NN )
37	2	gausslemma2dlem0a 15784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. NN )
39	36, 38	nnmulcld 9192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. NN )
40	39	nnzd 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. ZZ )
41		zdclt 9557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x x. Q ) e. ZZ /\ ( y x. P ) e. ZZ ) -> DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
42	34, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
43	42	ralrimivva 2614	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... N )DECID ( x x. Q ) < ( y x. P ) )
44	19, 23, 26, 43	opabfi 7132	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin )
45		cnven 6983	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } /\ { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin ) -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
46	18, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
47		cnvopab 5138	. . . . . . 7 |- `' { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } = { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) }
48	46, 47	breqtrdi 4129	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } )
49	1, 2, 4, 5, 6, 16	lgsquadlemsfi 15810	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin )
50		hashen 11047	. . . . . . 7 |- ( ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin /\ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin ) -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
51	44, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ~~ { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
52	48, 51	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) = (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) )
53	52	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. y , x >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
54	17, 53	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( ph -> ( P /L Q ) = ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) )
55		lgsquad.6	. . . 4 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
56	2, 1, 3, 6, 5, 55	lgsquadlem2 15813	. . 3 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) )
57	54, 56	oveq12d 6036	. 2 |- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) x. ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) ) )
58		neg1cn 9248	. . . 4 |- -u 1 e. CC
59	58	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
60	2, 1, 3, 6, 5, 55	lgsquadlemsfi 15810	. . . 4 |- ( ph -> S e. Fin )
61		hashcl 11044	. . . 4 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
62	60, 61	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` S ) e. NN0 )
63		hashcl 11044	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) e. NN0 )
64	44, 63	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) e. NN0 )
65	59, 62, 64	expaddd 10938	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) ) = ( ( -u 1 ^ (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) ) x. ( -u 1 ^ (♯ ` S ) ) ) )
66	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN )
67	66	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ZZ )
68		prmz 12688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
69	30, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. ZZ )
70		peano2zm 9517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q e. ZZ -> ( Q - 1 ) e. ZZ )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. ZZ )
72	66	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N e. RR )
73	71	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. RR )
74		prmuz2 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Q e. Prime -> Q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
75	30, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		uz2m1nn 9839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( Q - 1 ) e. NN )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. NN )
78	77	nnrpd 9929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. RR+ )
79		rphalflt 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Q - 1 ) e. RR+ -> ( ( Q - 1 ) / 2 ) < ( Q - 1 ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q - 1 ) / 2 ) < ( Q - 1 ) )
81	5, 80	eqbrtrid 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N < ( Q - 1 ) )
82	72, 73, 81	ltled 8298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> N <_ ( Q - 1 ) )
83		eluz2 9761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( Q - 1 ) e. ZZ /\ N <_ ( Q - 1 ) ) )
84	67, 71, 82, 83	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
85		fzss2 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q - 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
87		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ( 1 ... N ) )
88	86, 87	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ( 1 ... ( Q - 1 ) ) )
89		fzm1ndvds 12422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Q e. NN /\ y e. ( 1 ... ( Q - 1 ) ) ) -> -. Q || y )
90	32, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || y )
91	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q =/= P )
92	2	eldifad 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. Prime )
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. Prime )
94		prmrp 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Q e. Prime /\ P e. Prime ) -> ( ( Q gcd P ) = 1 <-> Q =/= P ) )
95	30, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q gcd P ) = 1 <-> Q =/= P ) )
96	91, 95	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q gcd P ) = 1 )
97		prmz 12688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
98	93, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. ZZ )
99		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. ZZ )
100	99	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. ZZ )
101		coprmdvds 12669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Q || ( P x. y ) /\ ( Q gcd P ) = 1 ) -> Q || y ) )
102	69, 98, 100, 101	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( Q || ( P x. y ) /\ ( Q gcd P ) = 1 ) -> Q || y ) )
103	96, 102	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q || ( P x. y ) -> Q || y ) )
104	90, 103	mtod 669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || ( P x. y ) )
105	38	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. CC )
106	36	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. CC )
107	105, 106	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( P x. y ) = ( y x. P ) )
108	107	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( Q || ( P x. y ) <-> Q || ( y x. P ) ) )
109	104, 108	mtbid 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. Q || ( y x. P ) )
110		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. ZZ )
111	110	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. ZZ )
112		dvdsmul2 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> Q || ( x x. Q ) )
113	111, 69, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q || ( x x. Q ) )
114		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x x. Q ) = ( y x. P ) -> ( Q || ( x x. Q ) <-> Q || ( y x. P ) ) )
115	113, 114	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) = ( y x. P ) -> Q || ( y x. P ) ) )
116	115	necon3bd 2445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( -. Q || ( y x. P ) -> ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) ) )
117	109, 116	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) )
118		nnq 9867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x x. Q ) e. NN -> ( x x. Q ) e. QQ )
119	33, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. QQ )
120		nnq 9867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y x. P ) e. NN -> ( y x. P ) e. QQ )
121	39, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. QQ )
122		qlttri2 9875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x x. Q ) e. QQ /\ ( y x. P ) e. QQ ) -> ( ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) <-> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
123	119, 121, 122	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) =/= ( y x. P ) <-> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
124	117, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
125	124	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
126	125	pm4.71rd 394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) <-> ( ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) ) )
127		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) <-> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
128	126, 127	bitr2di 197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) )
129	128	opabbidv 4155	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) } )
130		unopab 4168	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
131	55	uneq2i 3358	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } )
132		andi 825	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
133	132	opabbii 4156	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) \/ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
134	130, 131, 133	3eqtr4i 2262	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) \/ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
135		df-xp 4731	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) }
136	129, 134, 135	3eqtr4g 2289	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) = ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
137	136	fveq2d 5643	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) )
138		inopab 4862	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
139	55	ineq2i 3405	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } )
140		anandi 594	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
141	140	opabbii 4156	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) /\ ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
142	138, 139, 141	3eqtr4i 2262	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) }
143	33	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. RR )
144	39	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. RR )
145		ltnsym2 8270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x x. Q ) e. RR /\ ( y x. P ) e. RR ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) )
147	146	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
148		imnan 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) -> -. ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) <-> -. ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
149	147, 148	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
150	149	nexdv 1989	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
151	150	nexdv 1989	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. E. x E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
152		opabm 4375	. . . . . . . 8 |- ( E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } <-> E. x E. y ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) )
153	151, 152	sylnibr 683	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } )
154		notm0 3515	. . . . . . 7 |- ( -. E. j j e. { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } <-> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = (/) )
155	153, 154	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( ( x x. Q ) < ( y x. P ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) ) } = (/) )
156	142, 155	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = (/) )
157		hashun 11069	. . . . 5 |- ( ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } e. Fin /\ S e. Fin /\ ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } i^i S ) = (/) ) -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) )
158	44, 60, 156, 157	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } u. S ) ) = ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) )
159		hashxp 11091	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) )
160	23, 26, 159	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) )
161	21	nnnn0d 9455	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
162		hashfz1 11046	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
163	161, 162	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
164	24	nnnn0d 9455	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
165		hashfz1 11046	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
166	164, 165	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
167	163, 166	oveq12d 6036	. . . . 5 |- ( ph -> ( (♯ ` ( 1 ... M ) ) x. (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) = ( M x. N ) )
168	160, 167	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) ) = ( M x. N ) )
169	137, 158, 168	3eqtr3d 2272	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) = ( M x. N ) )
170	169	oveq2d 6034	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( (♯ ` { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x x. Q ) < ( y x. P ) ) } ) + (♯ ` S ) ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )
171	57, 65, 170	3eqtr2d 2270	1 |- ( ph -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   \ cdif 3197   u. cun 3198   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   class class class wbr 4088   {copab 4149   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   Rel wrel 4730   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ~~ cen 6907   Fincfn 6909   CCcc 8030   RRcr 8031   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   < clt 8214   <_ cle 8215   - cmin 8350   -ucneg 8351   / cdiv 8852   NNcn 9143   2c2 9194   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   QQcq 9853   RR+crp 9888   ...cfz 10243   ^cexp 10801  ♯chash 11038   || cdvds 12353   gcd cgcd 12529   Primecprime 12684   /Lclgs 15732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-proddc 12117  df-dvds 12354  df-gcd 12530  df-prm 12685  df-phi 12788  df-pc 12863  df-struct 13089  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-starv 13180  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-tset 13184  df-ple 13185  df-ds 13187  df-unif 13188  df-0g 13346  df-igsum 13347  df-topgen 13348  df-iimas 13390  df-qus 13391  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-mhm 13547  df-submnd 13548  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-sbg 13593  df-mulg 13712  df-subg 13762  df-nsg 13763  df-eqg 13764  df-ghm 13833  df-cmn 13878  df-abl 13879  df-mgp 13940  df-rng 13952  df-ur 13979  df-srg 13983  df-ring 14017  df-cring 14018  df-oppr 14087  df-dvdsr 14108  df-unit 14109  df-invr 14141  df-dvr 14152  df-rhm 14172  df-nzr 14200  df-subrg 14239  df-domn 14279  df-idom 14280  df-lmod 14309  df-lssm 14373  df-lsp 14407  df-sra 14455  df-rgmod 14456  df-lidl 14489  df-rsp 14490  df-2idl 14520  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-fg 14569  df-metu 14570  df-cnfld 14577  df-zring 14611  df-zrh 14634  df-zn 14636  df-lgs 15733

This theorem is referenced by:  lgsquad  15815