Theorem mulge0 8691

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8052	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )
2	1	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
3		0re 8071	. . . 4 |- 0 e. RR
4		ltnsym2 8162	. . . 4 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> -. ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> -. ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) )
6		orc 713	. . . . . 6 |- ( ( A x. B ) < 0 -> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) )
7		reaplt 8660	. . . . . . 7 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( A x. B ) # 0 <-> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) ) )
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 <-> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) ) )
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> ( A x. B ) # 0 ) )
10		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> A e. RR )
11		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> B e. RR )
12		recn 8057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> B e. CC )
13		recn 8057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A e. CC )
14		mulap0r 8687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
15	13, 14	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
16	12, 15	syl3an2 1283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
17	16	3expia 1207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> ( A # 0 /\ B # 0 ) ) )
18	17	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> ( A # 0 /\ B # 0 ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> A # 0 )
21		reaplt 8660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
22	3, 21	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
24	20, 23	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A < 0 \/ 0 < A ) )
25		lenlt 8147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
26	3, 25	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -. A < 0 )
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> -. A < 0 )
29		biorf 745	. . . . . . . . 9 |- ( -. A < 0 -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
31	24, 30	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < A )
32	19	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> B # 0 )
33		reaplt 8660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
34	3, 33	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
37	32, 36	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( B < 0 \/ 0 < B ) )
38		lenlt 8147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> -. B < 0 ) )
39	3, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( 0 <_ B <-> -. B < 0 ) )
40	39	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> -. B < 0 )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> -. B < 0 )
42		biorf 745	. . . . . . . . 9 |- ( -. B < 0 -> ( 0 < B <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( 0 < B <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
44	37, 43	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < B )
45	10, 11, 31, 44	mulgt0d 8194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < ( A x. B ) )
46	45	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> 0 < ( A x. B ) ) )
47	9, 46	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> 0 < ( A x. B ) ) )
48	47	ancld 325	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) ) )
49	5, 48	mtod 664	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> -. ( A x. B ) < 0 )
50		lenlt 8147	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ ( A x. B ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> -. ( A x. B ) < 0 ) )
51	3, 2, 50	sylancr 414	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> -. ( A x. B ) < 0 ) )
52	49, 51	mpbird 167	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   x. cmul 7929   < clt 8106   <_ cle 8107   # cap 8653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654

This theorem is referenced by:  mulge0i  8692  mulge0d  8693  ge0mulcl  10103  expge0  10718  bernneq  10803  sqrtmul  11288  amgm2  11371  2lgslem1a1  15505