Theorem mulge0 8712

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8073	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )
2	1	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
3		0re 8092	. . . 4 |- 0 e. RR
4		ltnsym2 8183	. . . 4 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> -. ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> -. ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) )
6		orc 714	. . . . . 6 |- ( ( A x. B ) < 0 -> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) )
7		reaplt 8681	. . . . . . 7 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( A x. B ) # 0 <-> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) ) )
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 <-> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) ) )
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> ( A x. B ) # 0 ) )
10		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> A e. RR )
11		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> B e. RR )
12		recn 8078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> B e. CC )
13		recn 8078	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A e. CC )
14		mulap0r 8708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
15	13, 14	syl3an1 1283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
16	12, 15	syl3an2 1284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
17	16	3expia 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> ( A # 0 /\ B # 0 ) ) )
18	17	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> ( A # 0 /\ B # 0 ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> A # 0 )
21		reaplt 8681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
22	3, 21	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
24	20, 23	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A < 0 \/ 0 < A ) )
25		lenlt 8168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
26	3, 25	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -. A < 0 )
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> -. A < 0 )
29		biorf 746	. . . . . . . . 9 |- ( -. A < 0 -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
31	24, 30	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < A )
32	19	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> B # 0 )
33		reaplt 8681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
34	3, 33	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
37	32, 36	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( B < 0 \/ 0 < B ) )
38		lenlt 8168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> -. B < 0 ) )
39	3, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( 0 <_ B <-> -. B < 0 ) )
40	39	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> -. B < 0 )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> -. B < 0 )
42		biorf 746	. . . . . . . . 9 |- ( -. B < 0 -> ( 0 < B <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( 0 < B <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
44	37, 43	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < B )
45	10, 11, 31, 44	mulgt0d 8215	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < ( A x. B ) )
46	45	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> 0 < ( A x. B ) ) )
47	9, 46	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> 0 < ( A x. B ) ) )
48	47	ancld 325	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) ) )
49	5, 48	mtod 665	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> -. ( A x. B ) < 0 )
50		lenlt 8168	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ ( A x. B ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> -. ( A x. B ) < 0 ) )
51	3, 2, 50	sylancr 414	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> -. ( A x. B ) < 0 ) )
52	49, 51	mpbird 167	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   CCcc 7943   RRcr 7944   0cc0 7945   x. cmul 7950   < clt 8127   <_ cle 8128   # cap 8674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675

This theorem is referenced by:  mulge0i  8713  mulge0d  8714  ge0mulcl  10124  expge0  10742  bernneq  10827  sqrtmul  11421  amgm2  11504  2lgslem1a1  15638