Theorem mulge0 8841

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8203	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )
2	1	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR )
3		0re 8222	. . . 4 |- 0 e. RR
4		ltnsym2 8312	. . . 4 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> -. ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> -. ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) )
6		orc 720	. . . . . 6 |- ( ( A x. B ) < 0 -> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) )
7		reaplt 8810	. . . . . . 7 |- ( ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( A x. B ) # 0 <-> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) ) )
8	2, 3, 7	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 <-> ( ( A x. B ) < 0 \/ 0 < ( A x. B ) ) ) )
9	6, 8	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> ( A x. B ) # 0 ) )
10		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> A e. RR )
11		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> B e. RR )
12		recn 8208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> B e. CC )
13		recn 8208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A e. CC )
14		mulap0r 8837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
15	13, 14	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. CC /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
16	12, 15	syl3an2 1308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
17	16	3expia 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> ( A # 0 /\ B # 0 ) ) )
18	17	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> ( A # 0 /\ B # 0 ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 /\ B # 0 ) )
20	19	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> A # 0 )
21		reaplt 8810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
22	3, 21	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A # 0 <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
24	20, 23	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( A < 0 \/ 0 < A ) )
25		lenlt 8297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
26	3, 25	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -. A < 0 )
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> -. A < 0 )
29		biorf 752	. . . . . . . . 9 |- ( -. A < 0 -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( 0 < A <-> ( A < 0 \/ 0 < A ) ) )
31	24, 30	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < A )
32	19	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> B # 0 )
33		reaplt 8810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
34	3, 33	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( B # 0 <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
37	32, 36	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( B < 0 \/ 0 < B ) )
38		lenlt 8297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> -. B < 0 ) )
39	3, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( 0 <_ B <-> -. B < 0 ) )
40	39	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> -. B < 0 )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> -. B < 0 )
42		biorf 752	. . . . . . . . 9 |- ( -. B < 0 -> ( 0 < B <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> ( 0 < B <-> ( B < 0 \/ 0 < B ) ) )
44	37, 43	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < B )
45	10, 11, 31, 44	mulgt0d 8344	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) /\ ( A x. B ) # 0 ) -> 0 < ( A x. B ) )
46	45	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) # 0 -> 0 < ( A x. B ) ) )
47	9, 46	syld 45	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> 0 < ( A x. B ) ) )
48	47	ancld 325	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. B ) < 0 -> ( ( A x. B ) < 0 /\ 0 < ( A x. B ) ) ) )
49	5, 48	mtod 669	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> -. ( A x. B ) < 0 )
50		lenlt 8297	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ ( A x. B ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> -. ( A x. B ) < 0 ) )
51	3, 2, 50	sylancr 414	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> -. ( A x. B ) < 0 ) )
52	49, 51	mpbird 167	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   x. cmul 8080   < clt 8256   <_ cle 8257   # cap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804

This theorem is referenced by:  mulge0i  8842  mulge0d  8843  ge0mulcl  10261  expge0  10883  bernneq  10968  sqrtmul  11658  amgm2  11741  2lgslem1a1  15888