ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemarch2 Unicode version

Theorem prarloclemarch2 7075
Description: Like prarloclemarch 7074 but the integer must be at least two, and there is also  B added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 7159. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemarch2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem prarloclemarch2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloclemarch 7074 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
213adant2 965 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
3 pinn 6965 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
4 1pi 6971 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  N.
54elexi 2645 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
65sucid 4268 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  suc  1o
7 df-2o 6220 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
86, 7eleqtrri 2170 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  2o
9 2onn 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  e.  om
10 nnaword2 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  2o  C_  ( z  +o  2o ) )
119, 10mpan 416 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  2o  C_  ( z  +o  2o ) )
1211sseld 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) ) )
138, 12mpi 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  om  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) )
143, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) )
15 o1p1e2 6269 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
+o  1o )  =  2o
16 addpiord 6972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
174, 4, 16mp2an 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
18 addclpi 6983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
194, 4, 18mp2an 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
2017, 19eqeltrri 2168 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
+o  1o )  e. 
N.
2115, 20eqeltrri 2168 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  N.
22 addpiord 6972 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  2o  e.  N. )  -> 
( z  +N  2o )  =  ( z  +o  2o ) )
2321, 22mpan2 417 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  2o )  =  ( z  +o  2o ) )
2414, 23eleqtrrd 2174 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  e.  ( z  +N  2o ) )
25 addclpi 6983 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  2o  e.  N. )  -> 
( z  +N  2o )  e.  N. )
2621, 25mpan2 417 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  2o )  e.  N. )
27 ltpiord 6975 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  (
z  +N  2o )  <-> 
1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
284, 27mpan 416 . . . . . . 7  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  <->  1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
2926, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  <->  1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
3024, 29mpbird 166 . . . . 5  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  <N  ( z  +N  2o ) )
3130adantl 272 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  1o  <N  (
z  +N  2o ) )
3231adantrr 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  1o  <N  ( z  +N  2o ) )
33 nna0 6275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  =  z )
34 0lt1o 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  1o
35 1on 6226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  e.  On
3635onsuci 4361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  suc  1o  e.  On
37 ontr1 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc 
1o  e.  On  ->  ( ( (/)  e.  1o  /\  1o  e.  suc  1o )  ->  (/)  e.  suc  1o ) )
3836, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
(/)  e.  1o  /\  1o  e.  suc  1o )  ->  (/) 
e.  suc  1o )
3934, 6, 38mp2an 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  suc  1o
4039, 7eleqtrri 2170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  2o
41 nnaordi 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (/)  e.  2o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) ) )
429, 41mpan 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  om  ->  ( (/) 
e.  2o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) ) )
4340, 42mpi 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) )
4433, 43eqeltrrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  ( z  +o  2o ) )
453, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +o  2o ) )
4645, 23eleqtrrd 2174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +N  2o ) )
47 ltpiord 6975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
z  +N  2o )  <-> 
z  e.  ( z  +N  2o ) ) )
4826, 47mpdan 413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  <N  ( z  +N  2o )  <->  z  e.  ( z  +N  2o ) ) )
4946, 48mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  z  <N  ( z  +N  2o ) )
50 mulidpi 6974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
51 mulcompig 6987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
524, 51mpan2 417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
5326, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
54 mulidpi 6974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( z  +N  2o ) )
5526, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( z  +N  2o ) )
5653, 55eqtr3d 2129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  .N  ( z  +N  2o ) )  =  ( z  +N  2o ) )
5749, 50, 563brtr4d 3897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
58 ordpipqqs 7030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
594, 58mpanl2 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
604, 59mpanr2 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
6126, 60mpdan 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N.  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
6257, 61mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6362adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
64 opelxpi 4499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
654, 64mpan2 417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  <. (
z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
66 enqex 7016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~Q  e.  _V
6766ecelqsi 6386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
( z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
6826, 65, 673syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
69 df-nqqs 7004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
7068, 69syl6eleqr 2188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
71 opelxpi 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
724, 71mpan2 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  N.  ->  <. z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
7366ecelqsi 6386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7574, 69syl6eleqr 2188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
76 ltmnqg 7057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7775, 76syl3an1 1214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e. 
Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7870, 77syl3an2 1215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
79783anidm12 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
8079ancoms 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
8163, 80mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
82 mulcomnqg 7039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  [
<. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
8375, 82sylan2 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
84 mulcomnqg 7039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
8570, 84sylan2 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
8681, 83, 853brtr3d 3896 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
87863ad2antl3 1110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
8887adantrr 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
89 ltsonq 7054 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  Or  Q.
90 ltrelnq 7021 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
9189, 90sotri 4860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  /\  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )  ->  A  <Q  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
9291ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( A 
<Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  ->  (
( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9392adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )  -> 
( ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9493adantl 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  (
( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9588, 94mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
96 mulclnq 7032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
9770, 96sylan 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
9897ancoms 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
99983ad2antl3 1110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
100 simpl2 950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  B  e.  Q. )
101 ltaddnq 7063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  (
( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10299, 100, 101syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  (
( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
103102adantrr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10489, 90sotri 4860 . . . . 5  |-  ( ( A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  /\  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )  ->  A  <Q  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10595, 103, 104syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
106 addcomnqg 7037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )
10799, 100, 106syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )
108107breq2d 3879 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( A  <Q  ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
109108adantrr 464 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( A  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
110105, 109mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
111 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  z  e.  N. )
112 breq2 3871 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  ( z  +N  2o ) ) )
113 opeq1 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  <. x ,  1o >.  =  <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. )
114113eceq1d 6368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
115114oveq1d 5705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  =  ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
116115oveq2d 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
117116breq2d 3879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
118112, 117anbi12d 458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  (
( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  <-> 
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) ) )
119118rspcev 2736 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) )
120119ex 114 . . . . 5  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
121111, 26, 1203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( ( 1o 
<N  ( z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
122121adantrr 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  (
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
12332, 110, 122mp2and 425 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
1242, 123rexlimddv 2507 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   E.wrex 2371    C_ wss 3013   (/)c0 3302   <.cop 3469   class class class wbr 3867   Oncon0 4214   suc csuc 4216   omcom 4433    X. cxp 4465  (class class class)co 5690   1oc1o 6212   2oc2o 6213    +o coa 6216   [cec 6330   /.cqs 6331   N.cnpi 6928    +N cpli 6929    .N cmi 6930    <N clti 6931    ~Q ceq 6935   Q.cnq 6936    +Q cplq 6938    .Q cmq 6939    <Q cltq 6941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-2o 6220  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009
This theorem is referenced by:  prarloc  7159
  Copyright terms: Public domain W3C validator