ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemarch2 Unicode version

Theorem prarloclemarch2 7195
Description: Like prarloclemarch 7194 but the integer must be at least two, and there is also  B added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 7279. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemarch2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem prarloclemarch2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloclemarch 7194 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
213adant2 985 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
3 pinn 7085 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
4 1pi 7091 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  N.
54elexi 2672 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
65sucid 4309 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  suc  1o
7 df-2o 6282 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
86, 7eleqtrri 2193 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  2o
9 2onn 6385 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  e.  om
10 nnaword2 6378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  2o  C_  ( z  +o  2o ) )
119, 10mpan 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  2o  C_  ( z  +o  2o ) )
1211sseld 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) ) )
138, 12mpi 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  om  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) )
143, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) )
15 o1p1e2 6332 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
+o  1o )  =  2o
16 addpiord 7092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
174, 4, 16mp2an 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
18 addclpi 7103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
194, 4, 18mp2an 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
2017, 19eqeltrri 2191 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
+o  1o )  e. 
N.
2115, 20eqeltrri 2191 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  N.
22 addpiord 7092 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  2o  e.  N. )  -> 
( z  +N  2o )  =  ( z  +o  2o ) )
2321, 22mpan2 421 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  2o )  =  ( z  +o  2o ) )
2414, 23eleqtrrd 2197 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  e.  ( z  +N  2o ) )
25 addclpi 7103 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  2o  e.  N. )  -> 
( z  +N  2o )  e.  N. )
2621, 25mpan2 421 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  2o )  e.  N. )
27 ltpiord 7095 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  (
z  +N  2o )  <-> 
1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
284, 27mpan 420 . . . . . . 7  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  <->  1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
2926, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  <->  1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
3024, 29mpbird 166 . . . . 5  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  <N  ( z  +N  2o ) )
3130adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  1o  <N  (
z  +N  2o ) )
3231adantrr 470 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  1o  <N  ( z  +N  2o ) )
33 nna0 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  =  z )
34 0lt1o 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  1o
35 1on 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  e.  On
3635onsuci 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  suc  1o  e.  On
37 ontr1 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc 
1o  e.  On  ->  ( ( (/)  e.  1o  /\  1o  e.  suc  1o )  ->  (/)  e.  suc  1o ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
(/)  e.  1o  /\  1o  e.  suc  1o )  ->  (/) 
e.  suc  1o )
3934, 6, 38mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  suc  1o
4039, 7eleqtrri 2193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  2o
41 nnaordi 6372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (/)  e.  2o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) ) )
429, 41mpan 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  om  ->  ( (/) 
e.  2o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) ) )
4340, 42mpi 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) )
4433, 43eqeltrrd 2195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  ( z  +o  2o ) )
453, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +o  2o ) )
4645, 23eleqtrrd 2197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +N  2o ) )
47 ltpiord 7095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
z  +N  2o )  <-> 
z  e.  ( z  +N  2o ) ) )
4826, 47mpdan 417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  <N  ( z  +N  2o )  <->  z  e.  ( z  +N  2o ) ) )
4946, 48mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  z  <N  ( z  +N  2o ) )
50 mulidpi 7094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
51 mulcompig 7107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
524, 51mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
5326, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
54 mulidpi 7094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( z  +N  2o ) )
5526, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( z  +N  2o ) )
5653, 55eqtr3d 2152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  .N  ( z  +N  2o ) )  =  ( z  +N  2o ) )
5749, 50, 563brtr4d 3930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
58 ordpipqqs 7150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
594, 58mpanl2 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
604, 59mpanr2 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
6126, 60mpdan 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N.  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
6257, 61mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6362adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
64 opelxpi 4541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
654, 64mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  <. (
z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
66 enqex 7136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~Q  e.  _V
6766ecelqsi 6451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
( z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
6826, 65, 673syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
69 df-nqqs 7124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
7068, 69eleqtrrdi 2211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
71 opelxpi 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
724, 71mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  N.  ->  <. z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
7366ecelqsi 6451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7574, 69eleqtrrdi 2211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
76 ltmnqg 7177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7775, 76syl3an1 1234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e. 
Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7870, 77syl3an2 1235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
79783anidm12 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
8079ancoms 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
8163, 80mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
82 mulcomnqg 7159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  [
<. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
8375, 82sylan2 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
84 mulcomnqg 7159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
8570, 84sylan2 284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
8681, 83, 853brtr3d 3929 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
87863ad2antl3 1130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
8887adantrr 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
89 ltsonq 7174 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  Or  Q.
90 ltrelnq 7141 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
9189, 90sotri 4904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  /\  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )  ->  A  <Q  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
9291ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( A 
<Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  ->  (
( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9392adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )  -> 
( ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9493adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  (
( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9588, 94mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
96 mulclnq 7152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
9770, 96sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
9897ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
99983ad2antl3 1130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
100 simpl2 970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  B  e.  Q. )
101 ltaddnq 7183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  (
( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10299, 100, 101syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  (
( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
103102adantrr 470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10489, 90sotri 4904 . . . . 5  |-  ( ( A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  /\  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )  ->  A  <Q  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10595, 103, 104syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
106 addcomnqg 7157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )
10799, 100, 106syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )
108107breq2d 3911 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( A  <Q  ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
109108adantrr 470 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( A  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
110105, 109mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
111 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  z  e.  N. )
112 breq2 3903 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  ( z  +N  2o ) ) )
113 opeq1 3675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  <. x ,  1o >.  =  <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. )
114113eceq1d 6433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
115114oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  =  ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
116115oveq2d 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
117116breq2d 3911 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
118112, 117anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  (
( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  <-> 
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) ) )
119118rspcev 2763 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) )
120119ex 114 . . . . 5  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
121111, 26, 1203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( ( 1o 
<N  ( z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
122121adantrr 470 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  (
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
12332, 110, 122mp2and 429 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
1242, 123rexlimddv 2531 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394    C_ wss 3041   (/)c0 3333   <.cop 3500   class class class wbr 3899   Oncon0 4255   suc csuc 4257   omcom 4474    X. cxp 4507  (class class class)co 5742   1oc1o 6274   2oc2o 6275    +o coa 6278   [cec 6395   /.cqs 6396   N.cnpi 7048    +N cpli 7049    .N cmi 7050    <N clti 7051    ~Q ceq 7055   Q.cnq 7056    +Q cplq 7058    .Q cmq 7059    <Q cltq 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  prarloc  7279
  Copyright terms: Public domain W3C validator