ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltapig Unicode version

Theorem ltapig 6897
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltapig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )

Proof of Theorem ltapig
StepHypRef Expression
1 pinn 6868 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 6868 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 6868 . . . . 5  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnaord 6268 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
653expa 1143 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
7 ltpiord 6878 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
87adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
A  e.  B ) )
9 addclpi 6886 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  e.  N. )
10 addclpi 6886 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  e.  N. )
11 ltpiord 6878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  +N  A
)  e.  N.  /\  ( C  +N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B )  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
129, 10, 11syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
13 addpiord 6875 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  =  ( C  +o  A ) )
1413adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  A )  =  ( C  +o  A ) )
15 addpiord 6875 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  =  ( C  +o  B ) )
1615adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  B )  =  ( C  +o  B ) )
1714, 16eleq12d 2158 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
1812, 17bitrd 186 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
1918anandis 559 . . . 4  |-  ( ( C  e.  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
2019ancoms 264 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
216, 8, 203bitr4d 218 . 2  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
( C  +N  A
)  <N  ( C  +N  B ) ) )
22213impa 1138 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   omcom 4405  (class class class)co 5652    +o coa 6178   N.cnpi 6831    +N cpli 6832    <N clti 6834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-ni 6863  df-pli 6864  df-lti 6866
This theorem is referenced by:  ltanqg  6959
  Copyright terms: Public domain W3C validator