Theorem ltapig 7422

Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltapig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )

Proof of Theorem ltapig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7393	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7393	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7393	. . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnaord 6576	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1291	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
6	5	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
7		ltpiord 7403	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
9		addclpi 7411	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C +N A ) e. N. )
10		addclpi 7411	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C +N B ) e. N. )
11		ltpiord 7403	. . . . . . 7 |- ( ( ( C +N A ) e. N. /\ ( C +N B ) e. N. ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +N A ) e. ( C +N B ) ) )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +N A ) e. ( C +N B ) ) )
13		addpiord 7400	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C +N A ) = ( C +o A ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C +N A ) = ( C +o A ) )
15		addpiord 7400	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C +N B ) = ( C +o B ) )
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C +N B ) = ( C +o B ) )
17	14, 16	eleq12d 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) e. ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
18	12, 17	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
19	18	anandis 592	. . . 4 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
20	19	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
21	6, 8, 20	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )
22	21	3impa 1196	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   omcom 4627  (class class class)co 5925   +o coa 6480   N.cnpi 7356   +N cpli 7357   <N clti 7359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-ni 7388  df-pli 7389  df-lti 7391

This theorem is referenced by:  ltanqg  7484