Theorem ltapig 7300

Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltapig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )

Proof of Theorem ltapig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7271	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7271	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7271	. . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnaord 6488	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1275	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
6	5	3expa 1198	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
7		ltpiord 7281	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
9		addclpi 7289	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C +N A ) e. N. )
10		addclpi 7289	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C +N B ) e. N. )
11		ltpiord 7281	. . . . . . 7 |- ( ( ( C +N A ) e. N. /\ ( C +N B ) e. N. ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +N A ) e. ( C +N B ) ) )
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +N A ) e. ( C +N B ) ) )
13		addpiord 7278	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C +N A ) = ( C +o A ) )
14	13	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C +N A ) = ( C +o A ) )
15		addpiord 7278	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C +N B ) = ( C +o B ) )
16	15	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C +N B ) = ( C +o B ) )
17	14, 16	eleq12d 2241	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) e. ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
18	12, 17	bitrd 187	. . . . 5 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
19	18	anandis 587	. . . 4 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
20	19	ancoms 266	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
21	6, 8, 20	3bitr4d 219	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )
22	21	3impa 1189	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   N.cnpi 7234   +N cpli 7235   <N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-ni 7266  df-pli 7267  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  ltanqg  7362