ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltapig Unicode version

Theorem ltapig 7110
Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltapig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )

Proof of Theorem ltapig
StepHypRef Expression
1 pinn 7081 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7081 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 7081 . . . . 5  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnaord 6371 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1241 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
653expa 1164 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
7 ltpiord 7091 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
87adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
A  e.  B ) )
9 addclpi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  e.  N. )
10 addclpi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  e.  N. )
11 ltpiord 7091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  +N  A
)  e.  N.  /\  ( C  +N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B )  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
129, 10, 11syl2an 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B ) ) )
13 addpiord 7088 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  +N  A
)  =  ( C  +o  A ) )
1413adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  A )  =  ( C  +o  A ) )
15 addpiord 7088 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  +N  B
)  =  ( C  +o  B ) )
1615adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  +N  B )  =  ( C  +o  B ) )
1714, 16eleq12d 2186 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  e.  ( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
1812, 17bitrd 187 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
1918anandis 564 . . . 4  |-  ( ( C  e.  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
2019ancoms 266 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( C  +N  A )  <N 
( C  +N  B
)  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
216, 8, 203bitr4d 219 . 2  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
( C  +N  A
)  <N  ( C  +N  B ) ) )
22213impa 1159 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  +N  A )  <N  ( C  +N  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   omcom 4472  (class class class)co 5740    +o coa 6276   N.cnpi 7044    +N cpli 7045    <N clti 7047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-ni 7076  df-pli 7077  df-lti 7079
This theorem is referenced by:  ltanqg  7172
  Copyright terms: Public domain W3C validator