Theorem ltapig 7525

Description: Ordering property of addition for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltapig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )

Proof of Theorem ltapig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7496	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7496	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		pinn 7496	. . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
4		nnaord 6655	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1313	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
6	5	3expa 1227	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
7		ltpiord 7506	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
9		addclpi 7514	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C +N A ) e. N. )
10		addclpi 7514	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C +N B ) e. N. )
11		ltpiord 7506	. . . . . . 7 |- ( ( ( C +N A ) e. N. /\ ( C +N B ) e. N. ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +N A ) e. ( C +N B ) ) )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +N A ) e. ( C +N B ) ) )
13		addpiord 7503	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C +N A ) = ( C +o A ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C +N A ) = ( C +o A ) )
15		addpiord 7503	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C +N B ) = ( C +o B ) )
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C +N B ) = ( C +o B ) )
17	14, 16	eleq12d 2300	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) e. ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
18	12, 17	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
19	18	anandis 594	. . . 4 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
20	19	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C +N A ) <N ( C +N B ) <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
21	6, 8, 20	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )
22	21	3impa 1218	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C +N A ) <N ( C +N B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   omcom 4682  (class class class)co 6001   +o coa 6559   N.cnpi 7459   +N cpli 7460   <N clti 7462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-oadd 6566  df-ni 7491  df-pli 7492  df-lti 7494

This theorem is referenced by:  ltanqg  7587