ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexpi Unicode version

Theorem ltexpi 7335
Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltexpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  E. x  e.  N.  ( A  +N  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ltexpi
StepHypRef Expression
1 pinn 7307 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7307 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnaordex 6528 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
5 ltpiord 7317 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
6 addpiord 7314 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( A  +N  x
)  =  ( A  +o  x ) )
76eqeq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  x )  =  B  <-> 
( A  +o  x
)  =  B ) )
87pm5.32da 452 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( x  e.  N.  /\  ( A  +N  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  N.  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
9 elni2 7312 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  N.  <->  ( x  e.  om  /\  (/)  e.  x
) )
109anbi1i 458 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( ( x  e. 
om  /\  (/)  e.  x
)  /\  ( A  +o  x )  =  B ) )
11 anass 401 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  (/)  e.  x )  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  om  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
1210, 11bitri 184 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  om  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
138, 12bitrdi 196 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( x  e.  N.  /\  ( A  +N  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  om  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) )
1413rexbidv2 2480 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( E. x  e.  N.  ( A  +N  x
)  =  B  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
1514adantr 276 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( E. x  e. 
N.  ( A  +N  x )  =  B  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
164, 5, 153bitr4d 220 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  E. x  e.  N.  ( A  +N  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   (/)c0 3422   class class class wbr 4003   omcom 4589  (class class class)co 5874    +o coa 6413   N.cnpi 7270    +N cpli 7271    <N clti 7273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-ni 7302  df-pli 7303  df-lti 7305
This theorem is referenced by:  ltexnqq  7406
  Copyright terms: Public domain W3C validator