Theorem ltexpi 7652

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7624	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7624	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnaordex 6761	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
5		ltpiord 7634	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		addpiord 7631	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( A +N x ) = ( A +o x ) )
7	6	eqeq1d 2241	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( ( A +N x ) = B <-> ( A +o x ) = B ) )
8	7	pm5.32da 452	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) ) )
9		elni2 7629	. . . . . . 7 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ (/) e. x ) )
10	9	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) )
11		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
13	8, 12	bitrdi 196	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
14	13	rexbidv2 2545	. . 3 |- ( A e. N. -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
15	14	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
16	4, 5, 15	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   (/)c0 3508   class class class wbr 4109   omcom 4712  (class class class)co 6050   +o coa 6644   N.cnpi 7587   +N cpli 7588   <N clti 7590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-ni 7619  df-pli 7620  df-lti 7622

This theorem is referenced by:  ltexnqq  7723