ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexpi Unicode version

Theorem ltexpi 7113
Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltexpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  E. x  e.  N.  ( A  +N  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ltexpi
StepHypRef Expression
1 pinn 7085 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7085 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnaordex 6391 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
41, 2, 3syl2an 287 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
5 ltpiord 7095 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
6 addpiord 7092 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( A  +N  x
)  =  ( A  +o  x ) )
76eqeq1d 2126 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( ( A  +N  x )  =  B  <-> 
( A  +o  x
)  =  B ) )
87pm5.32da 447 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( x  e.  N.  /\  ( A  +N  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  N.  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
9 elni2 7090 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  N.  <->  ( x  e.  om  /\  (/)  e.  x
) )
109anbi1i 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( ( x  e. 
om  /\  (/)  e.  x
)  /\  ( A  +o  x )  =  B ) )
11 anass 398 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  (/)  e.  x )  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  om  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
1210, 11bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  om  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
138, 12syl6bb 195 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( x  e.  N.  /\  ( A  +N  x
)  =  B )  <-> 
( x  e.  om  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) )
1413rexbidv2 2417 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( E. x  e.  N.  ( A  +N  x
)  =  B  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
1514adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( E. x  e. 
N.  ( A  +N  x )  =  B  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
164, 5, 153bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  E. x  e.  N.  ( A  +N  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   (/)c0 3333   class class class wbr 3899   omcom 4474  (class class class)co 5742    +o coa 6278   N.cnpi 7048    +N cpli 7049    <N clti 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-ni 7080  df-pli 7081  df-lti 7083
This theorem is referenced by:  ltexnqq  7184
  Copyright terms: Public domain W3C validator