Theorem ltexpi 7449

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7421	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7421	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnaordex 6613	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
5		ltpiord 7431	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		addpiord 7428	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( A +N x ) = ( A +o x ) )
7	6	eqeq1d 2213	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( ( A +N x ) = B <-> ( A +o x ) = B ) )
8	7	pm5.32da 452	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) ) )
9		elni2 7426	. . . . . . 7 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ (/) e. x ) )
10	9	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) )
11		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
13	8, 12	bitrdi 196	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
14	13	rexbidv2 2508	. . 3 |- ( A e. N. -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
15	14	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
16	4, 5, 15	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   E.wrex 2484   (/)c0 3459   class class class wbr 4043   omcom 4637  (class class class)co 5943   +o coa 6498   N.cnpi 7384   +N cpli 7385   <N clti 7387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-ni 7416  df-pli 7417  df-lti 7419

This theorem is referenced by:  ltexnqq  7520