Theorem ltexpi 7399

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7371	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7371	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnaordex 6583	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
5		ltpiord 7381	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		addpiord 7378	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( A +N x ) = ( A +o x ) )
7	6	eqeq1d 2202	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( ( A +N x ) = B <-> ( A +o x ) = B ) )
8	7	pm5.32da 452	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) ) )
9		elni2 7376	. . . . . . 7 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ (/) e. x ) )
10	9	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) )
11		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
13	8, 12	bitrdi 196	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
14	13	rexbidv2 2497	. . 3 |- ( A e. N. -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
15	14	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
16	4, 5, 15	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   (/)c0 3447   class class class wbr 4030   omcom 4623  (class class class)co 5919   +o coa 6468   N.cnpi 7334   +N cpli 7335   <N clti 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-ni 7366  df-pli 7367  df-lti 7369

This theorem is referenced by:  ltexnqq  7470