Theorem ltexpi 7299

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7271	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7271	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nnaordex 6507	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
5		ltpiord 7281	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		addpiord 7278	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( A +N x ) = ( A +o x ) )
7	6	eqeq1d 2179	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ x e. N. ) -> ( ( A +N x ) = B <-> ( A +o x ) = B ) )
8	7	pm5.32da 449	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) ) )
9		elni2 7276	. . . . . . 7 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ (/) e. x ) )
10	9	anbi1i 455	. . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) )
11		anass 399	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ (/) e. x ) /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
12	10, 11	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
13	8, 12	bitrdi 195	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( x e. N. /\ ( A +N x ) = B ) <-> ( x e. om /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
14	13	rexbidv2 2473	. . 3 |- ( A e. N. -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
15	14	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( E. x e. N. ( A +N x ) = B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
16	4, 5, 15	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> E. x e. N. ( A +N x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   N.cnpi 7234   +N cpli 7235   <N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-ni 7266  df-pli 7267  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  ltexnqq  7370